[논문 리뷰] Discrete phase space and minimum-uncertainty states

William K. Wootters, Daniel M. Sussman|ArXiv.org|2007. 04. 10.

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 n- 큐비트 시스템에 대해 유한체 𝔽₂ⁿ 위에서 정의된 유한체 위그너 함수를 사용하여 이산 위상공간에서의 회전 대칭성의 개념을 제안한다. 이를 통해 상호보완 기저들 전반에 걸쳐 레니 엔트로피를 최소화하는 회전 대칭 상태들이 정보 이론적 의미에서 최소 불확실성 상태임을 보이며, 단일 큐비트 및 삼중 큐비트 시스템의 명시적 예시를 통해 중심에서 최대 위그너 함수 값을 가지는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The quantum state of a system of qubits can be represented by a Wigner function on a discrete phase space, each axis of the phase space taking values in a finite field. Within this framework, we show that one can make sense of the notion of a "rotationally invariant state" of any collection of qubits, and that any such state is, in a well defined sense, a state of minimum uncertainty.

연구 동기 및 목표

• n-큐비트 시스템에 대해 이산 위상공간에서의 회전 대칭 양자 상태를 정의하고 특성화하기.
• 伝통적인 위치-운동량 불확실성이 적용되지 않는 이산 위상공간에서 최소 불확실성의 엄밀한 개념을 수립하기.
• 모든 상호보완 기저들 전반에 걸쳐 레니 엔트로피를 최소화하는 상태를 규명하여 조화 진동자 개념의 코herent 상태에 해당하는 상태로 간주하기.
• 특히 양자 암호화와 같은 양자정보 응용 분야에서 이러한 상태의 물리적 의미를 탐색하기.
• ‘가장 점처럼’ 정의된 상태, 즉 중심에서 최대 위그너 함수 값을 갖는 상태가 존재하는지 규명하기.

제안 방법

• 2ⁿ × 2ⁿ 위상공간에 대해 유한체 𝔽₂ⁿ를 사용하여 이산 위그너 함수를 구성하고, 이동 대칭성을 통해 순수 상태를 선으로 할당한다.
• 𝔽₂ⁿ 위에서 선형 변환(회전)과 관련된 유니터리 연산자를 사용하여 대칭성을 정의하고, 회전 대칭 상태를 식별한다.
• 모든 측정 방향(상호보완 기저들)에 걸쳐 불확실성을 측정하기 위해 레니 엔트로피의 2차 수준을 적용하며, 위치와 운동량 외의 방향에도 적용한다.
• 평행한 선들에 할당된 상태들이 서로 수직이 되고, 서로 다른 스트리케이션(기저들)이 상호보완적이 되도록 제약 조건을 도입하여 d=2ⁿ일 때 총 d+1개의 기저를 도출한다.
• 모든 d+1개의 상호보완 측정에 대해 엔트로피가 일정할 때 평균 레니 엔트로피가 최소가 되는 부등식을 유도한다.
• 𝔽₈의 원시 원소와 위상공간 원을 보존하는 회전 행렬을 사용하여 단일 큐비트 및 삼중 큐비트 시스템에 대한 명시적 구성 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n-큐비트 시스템의 이산 위상공간에서 의미 있는 회전 대칭성의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 회전 대칭 상태들이 잘 정의된 정보 이론적 의미에서 불확실성을 최소화하는가?
• RQ3 회전 대칭 상태들 중에서 위상공간에서 ‘가장 점처럼’ 행동하는 유일하거나 특별한 상태가 존재하는가?
• RQ4 이러한 최소 불확실성 상태들을 단일 큐비트나 삼중 큐비트와 같은 작은 시스템에서 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 이산 위상공간에서 위그너 함수의 양성과 최소 불확실성 성질 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 수의 큐비트에 대해 회전 대칭 상태가 존재하며, 이들은 모든 d+1개의 상호보완 기저들 전반에 걸친 평균 레니 엔트로피를 최소화하는 것으로 특징지어진다.
• 단일 큐비트의 경우, 두 개의 회전 대칭 상태는 X+Y+Z의 고유상태이며, X, Y, Z 측정에 대해 평균 레니 엔트로피를 최소화한다.
• 삼중 큐비트의 경우, 여덟 개의 회전 대칭 상태 중 하나가 양의 위그너 함수를 가지며, 중심에서 최대 가능한 값인 0.319를 달 đạt한다.
• 이 중심 값인 0.319는 어떤 삼중 큐비트 상태에서도 달성 가능한 최대값이며, ‘가장 점처럼’ 행동함을 나타낸다.
• |ψ⟩ = √(1/3)|+++⟩ + √(2/3)|---⟩ 상태는 원점에서 최대 위그너 함수를 가지는 회전 대칭 상태로 명시적으로 구성된다.
• 모든 회전 대칭 상태들이 조화 진동자 개념의 전통적 코herent 상태가 아니더라도, 레니 엔트로피의 관점에서 불확실성을 최소화함을 보였다.