[논문 리뷰] Discrete scattering by two staggered semi-infinite defects: reduction of matrix Wiener-Hopf problem

Basant Lal Sharma|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 30.

Ultrasonics and Acoustic Wave Propagation참고 문헌 84인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정사각형 격자상의 두 개의 겹쳐진 반무한 크랙 또는 경직 구속에 의한 이산파 산란에서 발생하는 행렬 위너-홉프 문제의 새로운 축소를 제시한다. 문제를 재구성함으로써 본질적으로 복잡한 2×2 행렬 커널 인수분해를 유한한 선형代수 방정식계로 축소하며, 이 방정식계의 계수는 스칼라 위너-홉프 인수분해를 통해 유도된다. 이에 따라 양의 오프셋과 음의 오프셋 케이스 모두에 대해 정확한 해를 도출할 수 있다.

ABSTRACT

As an extension of the discrete Sommerfeld problems on lattices, the scattering of a time harmonic wave is considered on an infinite square lattice when there exists a pair of semi-infinite cracks or rigid constraints. Due to the presence of stagger, also called offset, in the alignment of the defect edges the asymmetry in the problem leads to a matrix Wiener-Hopf kernel that cannot be reduced to scalar Wiener-Hopf in any known way. In the corresponding continuum model the same problem is a well known formidable one which possesses certain special structure with exponentially growing elements on the diagonal of kernel. From this viewpoint the present paper tackles a discrete analogue of the same by reformulating the Wiener-Hopf problem and reducing it to a finite set of linear algebraic equations; the coefficients of which can be found by an application of the scalar Wiener-Hopf factorization. The considered discrete paradigm involving lattice waves is relevant for modern applications of mechanics and physics at small length scales.

연구 동기 및 목표

• 이송된 반무한 판이 서로 정렬되지 않은 경우의 고전적 연속체 문제의 이산 대응을 다루기 위해.
• 지수적 위상 인자로 인해 알려진 인수분해 방법이 없는 비해결 가능한 행렬 위너-홉프 커널 문제에 도전하기 위해.
• 이전의 영오프셋 결함에 대한 연구를 확장하여 결함 간의 수평 오프셋(M)과 수직 간격(N)을 포함하기 위해.
• 크랙 및 경직 구속 구성 모두에 대해 산란된 파동장, 특히 근접단부 및 원거리장 행동을 정확하게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 양의 오프셋과 음의 오프셋 간의 대칭성을 활용하여 상단 및 하단 가장자리에 있는 파동장을 동시에 평가할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 정사각형 격자상에 두 개의 이격된 반무한 결함(크랙 또는 경직 구속)이 존재하는 이산 산란 문제를 설정하며, 오프셋 M과 간격 N을 도입한다.
• 커널이 [1, λ^N z^{-M}; λ^N z^M, 1] 형태인 행렬 위너-홉프 방정식을 유도하며, 여기서 λ와 z는 각각 γ와 ξ의 이산 대응이다.
• 보조 함수를 도입하여 행렬 위너-홉프 문제를 재구성함으로써 시스템을 유한한 선형代수 방정식계로 분리한다.
• 크랙의 경우 |M|×|M| 행렬의 역행렬로, 경직 구속의 경우 (|M|+2)×(|M|+2) 행렬의 역행렬로 해결되며, 계수는 스칼라 위너-홉프 인수분해를 통해 유도된다.
• 특성 함수의 스칼라 위너-홉프 방법을 적용하여 행렬 원소의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 양의 오프셋과 음의 오프셋 간의 대칭성과 부호 반전 매핑을 이용하여 상단 및 하단 가장자리에 있는 파동장 간의 교차관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이격된 격자 결함에서 유도되는 행렬 위너-홉프 커널이 비스칼라적이며 지수적으로 증가하는 구조를 지닌다 하더라도, 이를 해결 가능한 대수적 시스템으로 축소할 수 있는가?
• RQ2 결함 가장자리 간의 수평 오프셋 M이 존재할 경우, 이산 산란 문제의 인수분해 및 해법에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 오프셋 부호를 반전시켰을 때 상단 및 하단 가장자리에 있는 파동장 간의 관계는 무엇이며, 이를 동시에 평가하는 데 활용할 수 있는가?
• RQ4 이산 모델이 격자 간격이 0에 수렴할 때 고전적 연속체 문제의 거동를 어느 정도 재현할 수 있는가?
• RQ5 스칼라 위너-홉프 인수는 해 구조에 어떤 영향을 미치며, 특히 주파수의 허수부에 대한 의존성과 수치적 안정성 측면에서 어떤가?

주요 결과

• 이격된 결함에 대한 행렬 위너-홉프 문제는 계수 행렬의 크기가 오프셋 크기 |M|에 따라 달라지는 유한한 선형代수 방정식계로 축소된다.
• 크랙의 경우 시스템은 |M|×|M|이며, 경직 구속의 경우 (|M|+2)×(|M|+2)로, 원래의 무한차원 문제보다 크게 단순화된다.
• 선형 시스템의 계수는 특성 함수의 스칼라 위너-홉프 인수분해를 통해 결정되며, 이는 해석적 접근 가능성을 보장한다.
• 음의 오프셋 케이스의 해는 수직 뒤집기와 위상 조정을 통해 양의 오프셋 케이스에서 유도될 수 있으며, 이는 두 구성 모두에 대해 대칭적인 처리를 가능하게 한다.
• 파동장이 변환된 파동 성분과 위상 이동의 조합을 통해 상단 및 하단 가장자리에 있는 파동장 간의 관계가 존재한다는 주장은 (증명 없이) 수립되었으며, 수치적 검증을 통과하였다.
• 수치적 증거는 두 오프셋 부호가 주파수의 허수부와 관련하여 서로 다른 행동을 보일 수 있음을 시사하며, 이는 기초가 되는 스칼라 위너-홉프 인수의 구조적 차이 때문일 것이다.