[논문 리뷰] Discrete Shilnikov attractor and chaotic dynamics in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling

Evgeny A. Grines, Alexei O. Kazakov외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이방향 결합을 가진 다섯 개의 동일한 전역적으로 결합된 위상 진동자로 이루어진 시스템에서 이산 실니코프의 치유자 존재를 입증한다. 푸앵카레 단면에 기반한 수치 분석을 통해 저자들은 뉴마이크-삭커 분기 이후 토르스 두 번의 분기와 혼돈 전이를 거쳐 발생하는 분기 시퀀스를 규명하였으며, 이는 이산 실니코프 시나리오에 따른 이상한 치유자의 발생을 확인한다. 치유자의 동질성은 유체 유사한 행동을 보이는 흐름 유사의 동질성으로 나타난다.

ABSTRACT

We argue that a discrete Shilnikov attractor exists in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling. We explain the scenario that leads to birth of this kind of attractor and numerically illustrate the sequence of bifurcations that supports our statement.

연구 동기 및 목표

• 일반적으로 동기화되거나 주기적인 동역학을 보이는 동일한 전역적으로 결합된 위상 진동자 시스템에서 혼돈 동역학의 발생을 조사하는 것.
• 안정점에 대한 안정점에 대한 동질성 궤적을 특징으로 하는 이산 실니코프 치유자가 이러한 시스템에서 발생할 수 있는지 확인하는 것.
• 이중 조화 결합을 가진 다섯 개의 진동자 시스템에서 이상한 치유자의 탄생을 이끄는 분기 시퀀스를 규명하는 것.
• 치유자의 기하학적 구조와 그 불변 다변량, 특히 이국적인 흐름 유사 동질성 구성에 대한 분석

제안 방법

• γ₃ = 1.2에서의 푸앵카레 단면을 이용해 다섯 차원의 미분방정식 시스템을 세 차원의 푸앵카레 맵으로 축소.
• α = 1.6과 β = -1.58를 고정한 채로 결합 계수 r을 변화시키며 시스템의 동역학을 수치적 연속으로 분석.
• 혼돈의 발생을 탐지하기 위해 리아푸노프 지수를 계산하며, 양의 최대 리아푸노프 지수는 이상한 치유자를 나타낸다.
• 안정점에 대한 불안정 및 안정 불변 다변량을 구축하고 시각화하여 동질성 교차를 확인.
• GGS12와 GGKT14에서 제시한 3차원 맵에서의 이산 실니코프 치유자 발생 시나리오를 활용.
• 치유자와 안정점 사이의 거리 분석을 통해 r 증가에 따른 수렴 추적

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 조화 결합을 가진 다섯 개의 동일한 전역적으로 결합된 위상 진동자 시스템에서 이산 실니코프 치유자가 존재하는가?
• RQ2 이상한 치유자의 발생을 이끄는 분기 시퀀스는 무엇인가?
• RQ3 이산 맵임에도 불구하고 치유자의 동질성 구조가 연속 흐름과 유사한 이유는 무엇인가?
• RQ4 치유자가 안정점에 대해 얼마나 가까이 있는지 양적 연관을 분기 시퀀스와 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 조화 결합을 가진 다섯 개의 동일한 전역적으로 결합된 위상 진동자 시스템에서 이산 실니코프 치유자가 수치적 분기 분석을 통해 확인되었다.
• 치유자는 뉴마이크-삭커 분기(r ≈ 0.1795) 이후 토르스 두 번의 분기(r ≈ 0.185 및 r ≈ 0.188)를 거쳐 발생한다.
• r = 0.1892에서 양의 최대 리아푸노프 지수가 관측되어 혼돈의 발생과 이상한 치유자의 형성 여부를 나타낸다.
• r ≈ 0.1892에서 치유자와 안정점 사이의 거리가 최소에 도달하여 최대 동질성 근접성을 시사한다.
• 수치적 증거는 안정점의 불안정 및 안정 다변량 간의 교차를 확인하여 동질성 구조의 존재를 입증한다.
• 이산 맵임에도 불구하고 치유자의 동질성 구조가 흐름 유사한 외관을 보이며, 고정점 근처에서 연속 흐름에 임베딩될 가능성을 시사한다.