[논문 리뷰] Discrete Sums of Geometric Brownian Motions, Annuities and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 시간에서 기하 Brown 운동(Geometric Brownian Motion, GBM)의 합의 확률분포를 분석하며, 연금 보험에서의 확률적 연금과 아시안 옵션 가격 설정에서의 응용을 중점적으로 다룬다. 유한합, 무한합, 기하학적으로 정지된 합에 대해 尾 꼬리 渐近값과 渐近 분포 함수를 유도하고, 시간 간격이 0으로 수렴할 때 연속시간 적분 분포로의 수렴을 확립한다.

ABSTRACT

The discrete sum of geometric Brownian motions plays an important role in modeling stochastic annuities in insurance. It also plays a pivotal role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper, we study the probability distributions of the infinite sum of geometric Brownian motions, the sum of geometric Brownian motions with geometric stopping time, and the finite sum of the geometric Brownian motions. These results are extended to the discrete sum of the exponential Lévy process. We derive tail asymptotics and compute numerically the asymptotic distribution function. We compare the results against the known results for the continuous time integral of the geometric Brownian motion up to an exponentially distributed time. The results are illustrated with numerical examples for life annuities with discrete payments, and Asian options.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간에서 유한합, 무한합, 기하학적으로 정지된 GBM의 분포적 성질을 분석하기 위해.
• 결과를 이산적 지수 Lévy 과정의 합으로 확장하고 연속시간 근사와 비교하기 위해.
• 이 합의 꼬리 渐近값을 유도하고, 그 분포 함수의 수치적 계산을 수행하기 위해.
• 이산시간 결과와 GBM의 적분이 지수분포된 시간까지의 연속시간 결과를 비교하기 위해.
• 이산 지급을 가지는 생명 연금과 아시안 옵션 가격 설정에 대한 수치적 예시를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이산 시간 점들에서 GBM의 합을 모델링하기 위해 확률적 재귀 방정식을 사용한다.
• 기하학적 정지 시간 이론을 적용하여 기하분포된 랜덤 시간에 정지된 합을 분석한다.
• 모멘트 추정과 Brown 운동 증분을 이용해 이산합과 연속시간 적분 사이의 차이에 대한 경계를 도출한다.
• 약한 수렴 논증을 통해 이산시간 과정이 연속시간 과정으로 수렴함을 활용한다.
• 시간 간격 $ \tau \to 0 $ 일 때, 이산합이 연속시간 GBM 적분으로 수렴함을 보이며, 이때 한계 분포로 역 감마 분포를 사용한다.
• 시간 간격 $ \tau \to 0 $ 일 때, 이산합의 수렴이 분포 수렴으로 성립함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 조건 $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ 를 만족할 때, 기하 Brown 운동의 무한합의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ2 GBM의 유한합 분포의 꼬리는 점 渐近적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ3 시간 간격 $ \tau \to 0 $ 일 때, GBM의 이산합이 연속시간 적분으로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ4 이산합 결과와 GBM의 적분이 지수분포된 시간까지의 알려진 연속시간 결과 사이의 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 자산 수익률이 GBM 모형에 따를 때, 이산 확률적 연금의 현재 가치 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 기울기 조건 $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ 를 만족할 경우, GBM의 무한합은 역 감마 분포로 수렴하며, 이 한계 밀도는 $ \phi_{\infty}(z) = \left(\frac{2}{\sigma^2}\right)^{1 - \frac{2m}{\sigma^2}} \frac{1}{z^2} \exp\left(-\frac{2}{\sigma^2 z}\right) / \Gamma\left(1 - \frac{2m}{\sigma^2}\right) $ 로 주어진다.
• 시간 간격 $ \tau \to 0 $ 일 때, 이산합과 연속시간 GBM 적분 사이의 차이는 확률적으로 0으로 수렴하며, 이 오차는 $ R_\tau \to 0 $ 로 경계된다.
• 기하학적으로 정지된 합의 경우, 한계 분포는 지수분포된 시간 $ T_\lambda $ 까지의 연속시간 적분으로 수렴하며, 여기서 $ \lambda $ 는 비율 파라미터이다.
• 이산합의 누적분포함수의 연속시간 적분으로의 수렴은 측도의 약한 수렴을 통해 확립된다.
• 수치적 예시들은 이론적 결과를 확인하며, 연금 평가와 아시안 옵션 가격 설정에서 이산모형과 연속모형 간 양호한 일치를 보여준다.
• 합 분포의 꼬리 渐近값이 도출되었으며, 극단치에서의 무거운 꼬리 행동이 드러나며, 이는 보험 및 금융 응용 분야에서의 리스크 관리에 있어 핵심적이다.