[논문 리뷰] Discrete time approximation of coalescing stochastic flows on the real line

Iryna Nishchenko|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 실수선 위의 공통 흡수(stochastic flows)에 대해, 독립적인 정상 가우시안 과정을 편향으로 사용하여 이산 시간 근사법을 구성한다. 특히 아라티아 흐름을 대상으로 하며, 공분산 함수의 부드러움과 시간 간격을 제어함으로써 근사 과정이 아라티아 흐름으로 약수렴함을 증명한다. 이는 경계 조건이 있는 공통 흡수(stochastic flows)의 수치적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we have constructed an approximation for the Harris flow and the Arratia flow using a sequence of independent stationary Gaussian processes as a perturbation. We have established what should be the relationship between the step of approximation and smoothness of the covariance of the perturbing processes in order to have convergence of the approximating functions to the Arratia flow.

연구 동기 및 목표

• 공통 흡수(stochastic flows)의 이산 시간 근사 방법을 개발하며, 특히 표준 SDE에 의한 가우시안 백색 잡음으로 생성되지 않는 하리스 및 아라티아 흐름을 대상으로 한다.
• 편향 과정의 공분산 함수에 존재하는 특이성의 구조적 역할이 궤적의 공통 흡수를 어떻게 가능하게 하는지 이해한다.
• 스코로호드 또는 레비–프로코로프(topology)에서 이산 근사가 진정한 흐름으로 약수렴하는 조건을 확립한다.
• 표준 SDE의 수치 근사 방법과 공통 흡수를 보이는 복잡한 역학을 갖는 특이한 스토하스틱 흐름 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• 공분산 $ \Gamma $ 를 갖는 독립적인 정상 가우시안 과정 $ \xi_n $ 을 사용하여 재귀식 $ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \xi_{n+1}(x_n(u)) $ 으로 이산 시간 스토하스틱 과정을 정의한다.
• 일반화 원리와 모멘트 추정을 사용하여 이산 과정의 1점 및 2점 운동을 분석한다.
• 부드러움을 제어하기 위해 공분산을 정규화하여 $ \Gamma_{\varepsilon_n}(u) = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi_{\varepsilon_n}(p)\psi_{\varepsilon_n}(u+p)\,dp $ 로 설정하며, $ \psi \in C^\infty_0 $ 이다.
• 모래화된 잡음을 갖는 SDE의 해와의 차이에 대한 $ L^2 $-추정을 확립한다.
• 레비–프로코로프 거리와 스코로호드 거리를 적용하여 이산 과정이 아라티아 흐름으로 약수렴함을 증명한다.
• 이산 과정이 모래화된 SDE의 해와 동일분포임을 이용하여 수렴 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편향 가우시안 과정의 공분산 함수에 대해 어떤 조건이 이산 근사가 아라티아 흐름으로 수렴하게 하는가?
• RQ2 시간 간격과 공분산 함수의 부드러움 사이의 상호작용이 궤적의 공통 흡수를 극한에서 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 부드러운 계수를 갖는 표준 SDE와 동일한 원리로 공통 흡수를 갖는 흐름에 대한 이산 근사 방법을 정당화할 수 있는가?
• RQ4 모래화된 공분산 함수 $ \Gamma_{\varepsilon_n} $ 의 선택이 수렴 속도와 극한 흐름의 위상에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ5 적절한 스케일링 하에 $ \varepsilon_n $ 과 $ n $ 이 주어졌을 때, 이산 근사는 $ D([0,1]) $ 에서 아라티아 흐름으로 약수렴하는가?

주요 결과

• 공분산 $ \Gamma $ 가 $ C^2 $ 이고 유계일 경우, $ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \frac{1}{\sqrt{m}} \xi_n(x_n(u)) $ 로 구성된 이산 근사 $ x_n^{m} $ 은 $ C([0,1]) $ 에서 부드러운 잡음을 갖는 SDE의 해로 약수렴한다.
• l점 운동의 경우, 정규화된 과정 $ \widetilde{x}_n(u,t) $ 은 $ \Gamma \in C^2 $ 이고 공분산이 $ \frac{1}{\sqrt{n}} \Gamma $ 로 스케일링된 조건 하에서 하리스 흐름의 l점 운동으로 $ C([0,1], \mathbb{R}^l) $ 에서 약수렴한다.
• 모래화된 SDE 해 $ z_{\varepsilon_n} $ 과의 근사 오차는 $ E\| \widetilde{x}_n - z_{\varepsilon_n}(\cdot,1) \| \leq \frac{C'}{\sqrt{n}} \exp\{ (C''L^2_{\varepsilon_n} + C'''L^4_{\varepsilon_n}) e^{4L^2_{\varepsilon_n}} + L^2_{\varepsilon_n} \} (L^2_{\varepsilon_n} + 1) $ 를 만족하며, 여기서 $ L^2_{\varepsilon_n} = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi'(p)^2 dp $ 이다.
• 조건 $ \frac{1}{\varepsilon_n^2} = o(\ln \ln n) $ 이 만족될 경우, 이산 과정 $ x_n^n $ 은 $ D([0,1]) $ 에서 아라티아 흐름 $ x(\cdot,1) $ 으로 약수렴한다.
• 수렴은 모래화된 SDE 해와의 동일분포 및 레비–프로코로프 거리의 사용을 통해 확립되며, 이는 극한의 연속점에서의 수렴을 암시한다.