[논문 리뷰] Discrete time approximation of decoupled Forward-Backward SDE driven by pure jump Lévy-processes

Soufiane Aazizi|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 활성(즉, ν(R) = ∞)을 가진 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 분리형 정방향-역방향 스토케스 미분 방정식(FBSDEs)을 해결하기 위한 이단계 이산시간 수치적 방법을 제안한다. 첫 번째 단계에서는 분산 매칭 기법을 사용해 작은 점프를 브라운 운동으로 근사하고, 두 번째 단계에서는 결과적으로 생긴 브라운 운동과 포아송 성분을 포함하는 FBSDE에 오일러 유형의 방법을 적용한다. 주요 결과는 시간 간격 크기가 0으로 갈수록 수치적 방법이 진짜 해로 수렴하며, 오차 범위가 작은 점프의 분산과 시간 이산화에 의해 제어된다는 것이다.

ABSTRACT

We present a new algorithms to discretize a decoupled forward backward stochastic differential equations driven by pure jump Lévy process (FBSDEL in short). The method is built in two steps. Firstly, we approximate the FBSDEL by a forward backward stochastic differential equations driven by a Brownian motion and Poisson process (FBSDEBP in short), in which we replace the small jumps by a Brownian motion. Then, we prove the convergence of the approximation when the size of small jumps $\eps$ goes to 0. In the second step, we obtain the $L^p$ Hölder continuity of the solution of FBSDEBP and we construct two numerical schemes for this FBSDEBP. Based on the $L^p$ Hölder estimate, we prove the convergence of the scheme when the number of time steps $n$ goes to infinity. Combining these two steps leads to prove the convergence of numerical schemes to the solution of FBSDEL.

연구 동기 및 목표

• 무한 활성(즉, ν(R) = ∞)을 가진 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 분리형 정방향-역방향 SDEs를 위한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 특히 작은 점프를 잘라내지 못하는 경우에 효율적인 수치적 방법의 부족을 해결하는 것.
• 작은 점프 근사와 이산시간 오일러 유형 이산화를 조합하여 수치적 방법의 수렴성을 확립하는 것.
• 이산화에 의한 오차 제어를 보장하기 위해 근사된 FBSDE의 해에 대한 Lp-홀더 연속성 추정을 도출하는 것.

제안 방법

• 작은 점프(|e| ≤ ε)를 σ(ε) = (∫|e|≤ε e² ν(de))¹ᐟ²로 스케일된 브라운 운동으로 대체하여 원래의 FBSDE를 순수 점프 Lévy 과정으로 근사하는 것.
• ε → 0일 때 근사된 FBSDE의 해가 원래 해로 수렴하며, 오차가 σ(ε)²로 유계임을 증명하는 것.
• 이산화에 의한 오차 제어를 가능하게 하기 위해 근사된 FBSDE의 해에 대한 시간 및 상태 변수에 대한 Lp-홀더 연속성을 확립하는 것.
• 정규 시간 격자와 조건부 기대값을 사용하여 근사된 FBSDE에 대한 오일러 유형의 이산시간 스킴을 구성하는 것.
• 말리아빈 미분과 사전 추정을 사용하여 해의 도함수를 제어하고 스킴의 안정성을 보장하는 것.
• 두 단계를 통합하여 시간 간격 크기 |π| → 0일 때 전체 수치적 스킴이 진짜 해로 수렴함을 보이며, 오차율이 |π|¹⁻¹/log(1/|π|)와 σ(ε)²에 의존함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 활성 점프를 갖는 순수 점프 Lévy 과정에 의해 구동되는 분리형 FBSDEs에 대해 이산시간 수치적 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 작은 점프를 브라운 운동으로 근사하는 것이 점점 작아지는 점프 크기 ε → 0일 때 원래 FBSDE를 일관되게 근사하는가?
• RQ3 브라운 운동과 포아송 성분을 포함하는 근사된 FBSDE에 적용된 오일러 유형 스킴의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 이산화 오차를 제어하기 위해 해의 Lp-홀더 연속성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 작은 점프 근사와 시간 이산화를 조합한 이중 단계 스킴의 전체 수렴 속도는 무엇인가?

주요 결과

• 원래 FBSDE 해와 작은 점프 근사 간의 오차는 σ(ε)²로 유계이며, ε → 0일 때 수렴성을 증명한다.
• 근사된 FBSDE의 해에 대한 Lp-홀더 연속성이 확립되어 시간 이산화에 의한 오차 제어가 가능하다.
• 근사된 FBSDE에 대한 오일러 유형 스킴은 시간 간격 크기 |π| → 0일 때 해로 수렴하며, 오차가 C(|π|¹⁻¹/log(1/|π|) + σ(ε)²)로 유계임을 보인다.
• 스킴은 정방향 및 역방향 성분 모두에 대해 L² 수렴성을 확보하며, 작은 점프 분산과 시간 격자 정밀도를 포함한 명시적 오차 유계가 존재한다.
• 해의 말리아빈 도함수에 대한 사전 추정이 도출되어 스킴의 유계성과 안정성을 보장한다.
• 계수에 대한 표준 리프시츠 조건과 적분 가능성 조건을 만족할 경우 수렴 결과가 성립하며, 점프 강도 측도 ν에 명시적인 의존성이 있다.