[논문 리뷰] Discrete time optimal control with frequency constraints for non-smooth systems

Shruti Kotpalliwar, Pradyumna Paruchuri외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 19.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태 및 제어 제약 조건, 궤적에 대한 주파수 제약 조건, 비연속 동역학을 포함하는 이산시간 최적 제어 문제에 대해 이산시간 페트리아고린 최대원리(Discrete-time Pontryagin maximum principle)를 수립한다. 비차별성 시스템과 주파수 도메인 제약 조건을 동시에 다룰 수 있는 일阶필요조건 프레임워크를 제안하여 관성 액추에이터 및 유연한 구조물에 대해 고정밀도이자 계산적으로 구현 가능한 운동 계획을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a Pontryagin maximum principle for discrete time optimal control problems with (a) pointwise constraints on the control actions and the states, (b) frequency constraints on the control and the state trajectories, and (c) nonsmooth dynamical systems. Pointwise constraints on the states and the control actions represent desired and/or physical limitations on the states and the control values; such constraints are important and are widely present in the optimal control literature. Constraints of the type (b), while less standard in the literature, effectively serve the purpose of describing important spectral properties of inertial actuators and systems. The conjunction of constraints of the type (a) and (b) is a relatively new phenomenon in optimal control but are important for the synthesis control trajectories with a high degree of fidelity. The maximum principle established here provides first order necessary conditions for optimality that serve as a starting point for the synthesis of control trajectories corresponding to a large class of constrained motion planning problems that have high accuracy in a computationally tractable fashion. Moreover, the ability to handle a reasonably large class of nonsmooth dynamical systems that arise in practice ensures broad applicability our theory, and we include several illustrations of our results on standard problems.

연구 동기 및 목표

• 혼합 제약 조건이 있는 이산시간 최적 제어 문제에서 최적성에 대한 일阶필요조건을 개발하기 위해.
• 관성 액추에이터와 진동 제어에 핵심적인 주파수 제약 조건을 제어 및 상태 궤적에 통합하기 위해.
• 실제 공학 응용에서 발생하는 비연속 동역학 시스템으로 확장된 페트리아고린 최대원리를 개선하기 위해.
• 물리적 제약 조건과 성능 제약 조건 하에서 고정밀도 제어 궤적 합성과 함께 계산적 구현 가능성을 확보하기 위해.
• 기존 문헌에서의 격차를 메우기 위해 동시에 점별 제약 조건, 주파수 제약 조건, 비연속 제약 조건을 통합된 이론적 프레임워크로 다루기 위해.

제안 방법

• 혼합 제약 조건 하에서 이산시간 페트리아고린 최대원리를 유도: 상태 및 제어에 대한 점별 제약 조건과 주파수 도메인 제약 조건.
• 특히 시스템 행동이 급격히 변화하는 스위칭 표면에서 비연속 동역학을 다루기 위해 일반화된 기울기와 볼록 해석을 사용.
• 비차별성 동역학을 모델링하기 위해 다가역 적합한 수식과 포함 조건을 포함한 해밀토니안 최대화를 적용.
• 부등식 제약 조건을 위한 비연속 법선 쌍대체와 보완성 조건을 포함한 경계 조건을 도입.
• 클락의 일반화된 기울기와 볼록 쌍대체 이론을 포함한 비연속 최적화 이론을 활용해 필요 조건을 유도.
• 조각별 동역학과 주파수 제약 조건이 있는 비선형 전력 전자 회로 모델에 프레임워크를 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 최적 제어 문제에서 동시에 점별 제약 조건과 주파수 제약 조건이 존재할 경우, 최적성에 대한 일阶필요조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 스위칭 행동를 보이는 비연속 동역학 시스템을 다루기 위해 고전적 페트리아고린 최대원리에 어떤 수정이 필요한가?
• RQ3 이산시간 최적 제어 프레임워크에서 제어 및 상태 궤적에 대한 주파수 제약 조건을 수학적으로 어떻게 표현하고 시행할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 기울기와 다가역 적합한 수식이 비미분 가능 시스템의 최적 궤적을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 물리적 액추에이터 제약 조건과 진동 제약 조건이 존재하는 시스템에서 계산적으로 구현 가능하고 고정밀도 제어 합성을 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 점별 상태 및 제어 제약 조건, 궤적에 대한 주파수 제약 조건, 비연속 동역학을 통합한 이산시간 페트리아고린 최대원리를 수립한다.
• 필요 조건은 특히 시스템 동역학이 비연속적인 스위칭 표면에서 다가역 적합한 수식과 포함 조건을 포함한 해밀토니안 최대화를 포함한다.
• 비선형 전력 전자 회로 예제에서는 최적 제어 궤적이 전류가 전압의 임계 함수 이하이거나 초과하는지에 따라 두 가지 다른 형태로 전환되는 상태 및 수반 동역학을 만족한다.
• 경계 조건은 비연속 법선 쌍대체 항과 보완성 조건을 포함하여 경계 조건과 제약 조건 충족 조건과의 일致성을 확보한다.
• 제어가 연속 영역에 있을 경우 해밀토니안 최대화 조건은 고전적 등식 형태로 축소되지만, 비연속 경계에 위치할 경우 포함 조건 형태로 변형된다.
• 이 프레임워크는 관성 액추에이터와 유연한 구조물을 갖는 시스템에 대해 정밀한 제어 합성을 가능하게 하여 필터링에 의한 신호 왜곡을 피하고 성능 정밀도를 향상시킨다.