[논문 리뷰] Discrete variational principles and Hamilton-Jacobi theory for mechanical systems and optimal control problems

Vincent Guibout, Anthony M. Bloch|arXiv (Cornell University)|2004. 09. 17.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 접속다발과 코접속다발 위에서 이산 변분 원리를 위한 기하학적 프레임워크를 제안하며, 기계 시스템과 최적 제어 문제의 심플렉틱 적분을 가능하게 한다. 이는 이산 해밀턴-자비 이론과 이산 최대 원칙을 수립하며, 에너지 오차가 이산 캐논리컬 변환에 대해 불변임을 증명하고, 시간을 일반화된 좌표로 다루는 방식을 통해 심플렉틱이고 에너지를 보존하는 알고리즘을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper we present a general framework that allows one to study discretization of certain dynamical systems. This generalizes earlier work on discretization of Lagrangian and Hamiltonian systems on tangent bundles and cotangent bundles respectively. In particular we show how to obtain a large class of discrete algorithms using this geometric approach. We give new geometric insight into the Newmark model for example and we give a direct discrete formulation of the Hamilton-Jacobi method. Moreover we extend these ideas to deriving a discrete version of the maximum principle for smooth optimal control problems. We define discrete variational principles that are the discrete counterpart of known variational principles. For dynamical systems, we introduce principles of critical action on both the tangent bundle and the cotangent bundle. These two principles are equivalent and allow one to recover most of the classical symplectic algorithms. We also identify a class of coordinate transformations that leave the variational principles presented in this paper invariant and develop a discrete Hamilton-Jacobi theory. This theory allows us to show that the energy error in the (symplectic) integration of a dynamical system is invariant under discrete canonical transformations. Finally, for optimal control problems we develop a discrete maximum principle that yields discrete necessary conditions for optimality. These conditions are in agreement with the usual conditions obtained from Pontryagin maximum principle. We illustrate our approach with an example of a sub-Riemannian optimal control.

연구 동기 및 목표

• 접속다발과 코접속다발 위에서 변분 원리를 사용하여 기계 시스템과 최적 제어 문제를 통합적으로 이산화하는 기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 시간을 일반화된 좌표로 간주함으로써 심플렉틱 구조와 에너지를 보존하는 이산 변분 적분기법을 확장하는 것.
• 이산 캐논리컬 변환에 대한 에너지 오차의 불변성을 드러내는 이산 해밀턴-자비 이론을 수립하는 것.
• 기본 푸앵카레 최대 원칙과 일관된 이산 최대 원칙을 유도하는 것.
• 복잡한 시스템에 대한 심플렉틱-에너지 보존 적분기법과 다중심플렉틱 알고리즘을 구성하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 접속다발(이산 해밀턴의 원리)과 코접속다발(이산 수정된 해밀턴의 원리) 위에서 이산 변분 원리를 수립하여, 상등성과 고전적 심플렉틱 스킴의 복원을 보장한다.
• 경계 조건을 포함한 시간 이산화된 작용 원리를 도입하여 물리적 제약 조건을 강제하고 최적 제어 공식화를 가능하게 한다.
• 시간을 일반화된 좌표로 간주하여 확장된 위상공간에 시스템을 통합함으로써 에너지를 보존하는 심플렉틱 적분기법을 유도한다.
• 변분 원리를 보존하는 이산 캐논리컬 변환을 정의하고, 이를 통해 심플렉틱 적분에서 에너지 오차의 불변성을 분석한다.
• 이산 확장 비용 함수를 구성하고 작용의 변분을 통해 최적성의 필요 조건을 도출하여 이산 최대 원칙을 유도한다.
• 이 프레임워크를 부분리만노프 최적 제어 문제에 적용하여, 푸앵카레 조건과 일관되고 심플렉틱한 알고리즘이 도출됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 이산 변분 원리를 기하학적 프레임워크 내에서 통합적으로 심플렉틱 적분과 최적 제어를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 시간을 일반화된 좌표로 간주함으로써 심플렉틱 적분기법 내에서 에너지 보존을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 이산 해밀턴-자비 이론은 이산 캐논리컬 변환에 대한 에너지 오차의 불변성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 기본 푸앵카레 최대 원칙과 일관되고 심플렉틱 알고리즘을 도출할 수 있는 이산 최대 원칙을 유도할 수 있는가?
• RQ5 어떤 종류의 좌표 변환은 이산 변분 원리를 보존하며, 이는 도출된 적분기법의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 접속다발과 코접속다발 위에서의 이산 변분 원리는 상등하며, 생성함수 기반 및 룬게-쿠타 방법 기반을 포함한 대부분의 고전적 심플렉틱 적분기법을 복원한다.
• 시간을 일반화된 좌표로 간주함으로써 이 프레임워크는 심플렉틱-에너지 보존 알고리즘의 구축을 가능하게 하여 이산 시스템 내에서 에너지 보존을 보장한다.
• 심플렉틱 적분에서의 에너지 오차는 이산 캐논리컬 변환에 대해 불변이며, 이는 이산 해밀턴-자비 이론을 통해 핵심 결과로 입증된다.
• 이산 최대 원칙은 고전적 푸앵카레 최대 원칙과 일관된 최적성의 필요 조건을 도출하여, 최적 제어 문제에 대한 접근 방식의 타당성을 검증한다.
• 비틀림이 있는 이산화 조건이 적용된 경우에도 이 프레임워크는 심플렉틱 알고리즘의 유도를 가능하게 하지만, 이 경우 연속적 경우와의 상등성은 보장되지 않을 수 있다.
• 이 방법은 부분리만노프 최적 제어 문제에 적용되었으며, 결과적으로 도출된 알고리즘이 심플렉틱하고 최적성의 필요 조건과 일관됨을 보였다.