[논문 리뷰] Discreteness and Determinism in Superstrings

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 16.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 12인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 월드시트 격자 위의 이산적이고 고전적인 비트를 조르당-위저 변환을 통해 양자화된 D차원 초끈 이론 상태로 매핑하는 결정론적 세포자동기(CA) 프레임워크를 제안한다. 주요 결과는 양자역학적 비결정성의 개념을 도입하지 않고도 로렌츠 불변성과 초대칭성을 유지하는 완전히 결정론적이고 이산적인 초끈 이론의 수식화를 달성한 것이다. 이는 기초가 되는 고전적 동역학에 근거한 새로운 '세포자동기 해석'을 제안한다.

ABSTRACT

Ideas presented in two earlier papers are applied to string theory. It had been found that a deterministic cellular automaton in one space- and one time dimension can be mapped onto a bosonic quantum field theory on a 1+1 dimensional lattice. We now also show that a cellular automaton in 1+1 dimensions that processes only ones and zeros, can be mapped onto a fermionic quantum field theory in a similar way. The natural system to apply all of this to is superstring theory, and we find that all classical states of a classical, deterministic string propagating in a rectangular, D dimensional space-time lattice, with some boolean variables on it, can be mapped onto the elements of a specially chosen basis for a (quantized) D dimensional superstring. This string is moderated ("regularized") by a 1+1 dimensional lattice on its world sheet, which may subsequently be sent to the continuum limit. The space-time lattice in target space is not sent to the continuum, while this does not seem to reduce its physically desirable features, including Lorentz invariance. We claim that our observations add a new twist to discussions concerning the interpretation of quantum mechanics, which we call the cellular automaton (CA) interpretation. Detailed discussions of this interpretation, and in particular its relation to the Bell inequalities, are now included.

연구 동기 및 목표

• 초끈 이론에 대한 결정론적이고 이산적인 세포자동기 모델을 개발하여, 본질적인 비결정성을 도입하지 않고도 양자역학적 행동을 재현하고자 한다.
• 1+1차원 월드시트 격자 위의 고전적 부울 변수를 조르당-위저 변환을 통해 D차원 초끈 상태의 기저로 매핑하고자 한다.
• 연속체 근사에서 공간-시간의 불변성과 초대칭성을 유지하면서도, 목표 공간-시간 격자를 이산적으로 유지하고자 한다.
• 표준적인 양자역학의 비결정성 관점에 도전하고 벨의 부등식을 다루는 새로운 양자역학 해석, 즉 '세포자동기 해석'을 제공하고자 한다.

제안 방법

• 월드시트의 동역학을 정규화하기 위해 1+1차원 이산 월드시트 격자를 사용하며, 국소 규칙에 따라 결정적으로 진화하는 부울 변수(0과 1)를 사용한다.
• 조르당-위저 변환을 통해 이산 월드시트 자유도를 페르미온 모드로 매핑하여 적절한 반대칭 관계를 보장한다.
• 정수 값 필드 $Q, P, \cdots$ 와 관련된 연산자 $\eta_Q, \eta_P$ 를 사용하여 D차원 초끈의 힐베르트 공간 기저를 구성한다. 이들의 고유값은 $[-1/2, 1/2]$ 에 속한다.
• phase 인자와 이산 이동을 표현하기 위해 $\epsilon = e^{2\pi}$ 를 사용하며, $h = 1$ (즉, $\hbar = 1/(2\pi)$) 인 수정된 양자 형식을 구현한다.
• 목표 공간-시간의 공간-시간 격자를 플랑크 규모에서 유지하며 격자 간격을 $a_\ell = 1$ 으로 정규화한다. 반면 월드시트 격자는 연속체 근사로 간주한다.
• 종방향 모드에 대한 제약 조건을 도입하여 상태 수의 일관성을 확보하며, 이는 짝수/홀수 격자 위치의 구조에 따라 달라질 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원에서의 결정론적 세포자동기는 페르미온 양자장 이론을 생성할 수 있는가? 이는 초끈의 구조와 일치하는가?
• RQ2 월드시트 격자 위의 이산적이고 고전적인 비트는 로렌츠 불변성을 유지하면서도 D차원 초끈 상태의 기저로 어떻게 매핑될 수 있는가?
• RQ3 짝수/홀수 격자 위치의 구조와 정수 값 제약 조건은 초대칭성 유지와 상태 수의 모호함 방지를 위해 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 세포자동기 해석은 벨의 부등식과 비국소성과 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ5 왜 월드시트 위의 $D-2$개의 부울 자유도가 목표 공간에서 질량이 0이고 상호작용이 없는 초대칭성을 유도하는가?

주요 결과

• 1+1차원 월드시트 격자 위의 결정론적 세포자동기에서 부울 변수를 조르당-위저 변환을 통해 양자화된 D차원 초끈 상태의 기저로 매핑할 수 있다.
• 이 매핑은 공간-시간 격자가 이산적인 동안에도 목표 공간에서의 로렌츠 불변성을 유지한다. 이는 이산적인 기초 이론에서 기인한 이산적 로렌츠 불변성이 기초가 될 수 있음을 시사한다.
• $D-2$개의 부울 자유도가 포함된 월드시트에서는 자연스럽게 목표 공간에서 질량이 0이고 상호작용이 없는 페르미온이 나타나 초대칭성이 유도된다.
• 끈 상수는 1로 설정되어 있어 $\alpha' \sim l_P^2$ 를 의미하며, 이는 공간-시간 격자 간격이 플랑크 길이의 주요 척도임을 시사한다.
• 종방향 모드에 대한 제약 조건으로 인해 상태 수 문제(상태 수의 모호함)가 발생하며, 이 문제의 해결책은 격자 위치의 홀짝성(짝수/홀수)에 따라 달라질 수 있다. 이는 격자 구조와 페르미온 통계 간 잠재적 연관성을 시사한다.
• 이 형식은 스핀과 회전 성질이 직선 방향에 직접 연결되지 않고, 로렌츠 변환을 고려할 때에만 유도된다는 것을 시사한다.