[논문 리뷰] Discretization of Lévy semistationary processes with application to estimation

Mikkel Bennedsen, Asger Lunde외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 레비 반정적정적세미스테이션너리(Levy semistationary, LSS) 과정을 시뮬레이션하기 위한 단계함수 이산화 방법을 제안한다. 특히 원점에서 특이핵을 가지며, 이로 인해 반정적정적세미스테이션너리가 되지 않는 과정에 초점을 맞춘다. 이 방법은 브라운 반정적정적세미스테이션너리(Brownian semistationary, BSS) 과정에서 통합된 변동성과 부드러움 파라미터의 추정기의 정확한 시뮬레이션과 유한표본 평가를 가능하게 하며, 단 200건의 관측치만으로도 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Motivated by the construction of the Itô stochastic integral, we consider a step function method to discretize and simulate volatility modulated Lévy semistationary processes. Moreover, we assess the accuracy of the method with a particular focus on integrating kernels with a singularity at the origin. Using the simulation method, we study the finite sample properties of some recently developed estimators of realized volatility and associated parametric estimators for Brownian semistationary processes. Although the theoretical properties of these estimators have been established under high frequency asymptotics, it turns out that the estimators perform well also in a low frequency setting.

연구 동기 및 목표

• 특히 원점에서 특이핵을 가지며 반정적정적세미스테이션너리가 되지 않는 과정을 포함한 레비 반정적정적세미스테이션너리 과정에 대한 신뢰할 수 있는 시뮬레이션 체계를 개발한다.
• 특히 감마 커널에 의해 구동되는 과정에 대해 이산화 방법의 평균제곱오차를 평가한다.
• 최근 개발된 BSS 과정에서의 통합된 변동성과 부드러움 파라미터 추정기의 유한표본 성능을 평가한다.
• 특히 변동성 과정이 장기적 의존성을 보일 때, 저주파수 샘플링 하에서 이러한 추정기의 강인성을 조사한다.

제안 방법

• 이토 스토케스틱 적분에 영감을 얻은 단계함수 근사법을 사용하여 LSS 과정을 이산화함으로써 수치적 적분을 통한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 원점에서 특이성이 존재하고 반정적정적세미스테이션너리 행동을 유도하는 감마 커널의 경우에 이 방법을 적용한다.
• 이산화 체계의 일반적인 평균제곱오차 경계를 유도하여 시뮬레이션 정확도를 정량화한다.
• 최대 20,000회의 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하여 파wr 변동 기반 추정기의 유한표본 성질을 평가한다.
• 고주파 경로에서 서브샘플링을 수행하여 저주파 관측치를 생성하고, 추정기의 편향과 일致성 여부를 평가한다.
• 다양한 스토케스틱 변동성 사양 하에서 L1, L2, 및 sup 노름을 사용하여 일정한 변동성의 귀무가설을 검정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이핵을 가진 LSS 과정에 대해 단계함수 이산화 방법의 정확도는 어떻게 되며, 특히 평균제곱오차 측면에서 어떻게 평가되는가?
• RQ2 관측 수가 적을 경우, 통합된 변동성과 부드러움 파라미터의 추정기는 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ3 커널에 특이성이 존재하여 과정이 반정적정적세미스테이션너리가 되지 않을 경우, 이산화 방법은 여전히 효과적인가?
• RQ4 샘플링 주파수가 부드러움 파라미터와 변동성 일정성에 대한 추정기의 편향과 검정력에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 스토케스틱 변동성 역학 하에서, 파워 변동 기반 추정기의 유한표본 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 단계함수 이산화 방법은 LSS 과정에 대해 높은 정확도를 달성하며, 격자가 더 미세해질수록 평균제곱오차가 감소한다. 이는 특히 특이핵을 가진 과정에 있어 매우 중요하다.
• 통합된 변동성과 부드러움 파라미터의 추정기는 단 200건의 관측치만으로도 매우 우수한 성능을 보이며, 강력한 유한표본 성질을 나타낸다.
• 샘플링 주파수가 낮을 경우, 부드러움 파라미터 α의 추정기는 λ 값이 클수록 하향 편향을 보이며, 이는 샘플링 설계에 주의가 필요함을 시사한다.
• 일정한 변동성에 대한 검정의 검정력은 표본 크기가 증가함에 따라 증가하며, 특히 L² 노름에서 가장 높다. N=1000일 때 β=0.05인 경우 검정력이 95% 이상에 이를 수 있다.
• β=5.0일 경우, L² 노름 하에서 N=1000일 때 검정력이 90%를 초과하여 장기 기억 변동성 역학을 잘 탐지함을 나타낸다.
• 이 시뮬레이션 체계는 LSS 과정의 비마르코프성 및 비반정적정적세미스테이션너리 특성을 성공적으로 포착하였으며, 특히 고주파 경로에서의 서브샘플링과 조합될 경우 더욱 두드러진다.