[논문 리뷰] Discriminants of morphisms of sheaves

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그라스만니안 배럴, 타우토로지컬 시퀀스, 투영을 이용하여 국소적으로 자유층의 사상에 대한 통합적이고 기하학적인 판별식의 정의를 제안하며, 다항식의 고전적 판별식, 스킴의 사상의 판별식, 그리고 매끄럽고 사영 스킴 위의 선형 계의 판별식을 일반화한다. 주요 기여는 플래그 다양체 위의 임의의 선형 계의 판별식이 기약임을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to give a unified definition of a large class of discriminants arising in algebraic geometry using the discriminant of a morphism of locally free sheaves. The discriminant of a morphism of locally free sheaves has a geometric definition in terms of grassmannian bundles, tautological sequences and projections and is a simultaneous generalization of the discriminant of a morphism of schemes, the discriminant of a linear system on a smooth projective scheme and the classical discriminant of degree $d$ polynomials. We study the discriminant of a morphism in various situations: The discriminant of a finite morphism of schemes, the discriminant of a linear system on the projective line and the discriminant of a linear system on a flag variety. The main result of the paper is that the discrimiant of any linear system on any flag variety is irreducible.

연구 동기 및 목표

• 임의의 스킴 위에서 국소적으로 자유층의 사상에 대한 함자적이고 내재적인 판별식 정의를 제공하여, 대수기하학의 다양한 개념을 통합한다.
• 다항식의 고전적 판별식, 스킴의 사상의 판별식, 그리고 매끄럽고 사영 스킴 위의 선형 계의 판별식을 하나의 프레임워크로 일반화한다.
• 특히 사영 공간과 플래그 다양체의 맥락에서 판별식의 기하학적 및 코homological 구조를 연구한다.
• 제트 배럴과 타일러 사상의 이론을 활용하여 사영 공간 위의 선형 계의 k번째 판별식의 이상층의 이상층에 대한 후보 해상형을 구성한다.
• 플래그 다양체 위의 선형 계의 판별식의 기약성을 증명하며, 이는 본 논문의 핵심 결과이다.

제안 방법

• 국소적으로 자유층의 사상 φ: u*E → F에 대해 관련 그라스만니안 배럴 G_n(u*E*)과 타우토로지컬 시퀀스를 이용하여 판별식을 정의한다.
• X → G_n(u*E*)로의 투영 π와 쌍대 사상의 코어널러의 쌍대를 이용하여 행렬식 구성법을 통해 판별식을 닫힌 부분 스킴으로 정의한다.
• 타일러 사상과 제트 배럴 이론을 적용하여 P^1 위의 k번째 판별식 D^k(O(d))를 분석함으로써, 이것이 국소적으로 완전교차임을 보인다.
• 제트 배럴의 외적 거듭제곱의 코homology 군의 SL(V)-모듈러 구조를 활용하여 판별식의 전반적 기하학적 구조를 묘사한다.
• 플래그 다양체에서 타일러 사상 T^k의 전성과 함께, 쌍대 사상의 코어널러에 대한 추론을 통해 Corollary 2.6을 활용하여 D^k(L)의 기약성을 유도한다.
• 제트 배럴과 그 외적 거듭제곱에 관련된 두중적 복합체의 국소 자유층의 전체 복합체를 구성하여 판별식 이상층의 해상형 가능성 탐색.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식의 고전적 판별식, 스킴의 사상의 판별식, 그리고 매끄럽고 사영 스킴 위의 선형 계의 판별식을 통합하는 단일한 기하학적이고 함자적인 정의가 가능할 수 있는가?
• RQ2 프로젝티브 라인 위의 k번째 판별식 D^k(O(d))의 구조는 무엇이며, 이를 국소적으로 완전교차로 표현할 수 있는가?
• RQ3 제트 배럴과 타일러 사상은 어떻게 사용되어 사영 공간 위의 선형 계의 판별식 이상층에 대한 후보 해상형을 구성할 수 있는가?
• RQ4 사영 공간 위의 제트 배럴의 외적 거듭제곱의 코homology 구조는 무엇이며, SL(V)-모듈러 분해와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 플래그 다양체 위의 선형 계의 판별식은 기약인가? 그리고 이를 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• Coker(φ*)가 국소적으로 자유층일 경우, 임의의 쿠아지콤���크트하고 기약인 스킴 X 위의 국소적으로 자유층의 사상 φ: u*E → F에 대해 판별식이 기약임이 Corollary 2.6에 의해 입증된다.
• 모든 1 ≤ k ≤ d에 대해 P^1 위의 k번째 판별식 D^k(O(d))는 기약적인 국소적으로 완전교차임이 Theorem 4.5에 의해 증명된다.
• 모든 1 ≤ k ≤ min{l_i + 1}에 대해 플래그 다양체 G/P 위의 선형 계의 판별식 D^k(L)는 기약임이 Theorem 5.13에 의해 입증된다.
• 사영 공간 위의 제트 배럴의 외적 거듭제곱의 모든 고차 코homology 군의 SL(V)-모듈러 구조에 대한 완전한 묘사가 Theorem 5.2에 제시된다.
• SL(V)-선형화를 가진 일군의 굴절된 제트 배럴의 고차 직접영상이 Theorem 5.10에 의해 계산된다.
• 타일러 사상과 제트 배럴의 구조를 기반으로, P(V*) 위의 D^k(O(d)) 이상층에 대한 후보 복합체인 국소 자유층의 복합체가 예제 5.11에서 제안된다.