[논문 리뷰] Disentangling modes with crossover instantaneous frequencies by synchrosqueezed chirplet transforms, from theory to application

Ziyu Chen, Hau‐Tieng Wu|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 03.

Image and Signal Denoising Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상 재할당을 활용하여 교차하는 순간 주파수를 가진 진동 모드를 분리하는 새로운 시간-주파수-비틀림률(TFC) 표현인 동기화된 캐릭터 변환(SCT)을 제안한다. 위상 기반 재할당을 통해 캐릭터 변환의 흐림 효과를 개선함으로써 SCT는 높은 대비도와 집중도를 가진 TFC 표현을 달성하여 비정상적 신호에서 겹치는 모드를 이론적 보장과 함께 정확히 분리할 수 있다.

ABSTRACT

Analysis of signals with oscillatory modes with crossover instantaneous frequencies is a challenging problem in time series analysis. One way to handle this problem is lifting the 2-dimensional time-frequency representation to a 3-dimensional representation, called time-frequency-chirp rate (TFC) representation, by adding one extra chirp rate parameter so that crossover frequencies are disentangled in higher dimension. The chirplet transform is an algorithm for this lifting idea, which leads to a TFC representation. However, in practice, we found that it has a strong ``blurring'' effect in the chirp rate axis, which limits its application in real-world data. Moreover, to our knowledge, we have limited mathematical understanding of the chirplet transform in the literature. Motivated by the need for the real-world data analysis, in this paper, we propose the synchrosqueezed chirplet transform (SCT) that enhances the TFC representation given by the chirplet transform. The resulting concentrated TFC representation has high contrast so that one can better distinguish different modes with crossover instantaneous frequencies. The basic idea is to use the phase information in the chirplet transform to determine a reassignment rule that sharpens the TFC representation determined by the chirplet transform. We also analyze the chirplet transform and provide theoretical guarantees of SCT.

연구 동기 및 목표

• 시계열 분석에서 교차하는 순간 주파수를 가진 진동 모드를 분리하는 데 도전하는 데 목적이 있다.
• 실제 데이터에서 기존 캐릭터 변환의 비틀림률 축에서 강한 흐림 효과를 극복하는 데 목적이 있다.
• 캐릭터 변환과 그 동기화된 변형에 대해 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하는 데 목적이 있다.
• 빈도 교차가 발생하더라도 정확한 모드 분리를 가능하게 하는 고대비, 집중도 높은 TFC 표현을 개발하는 데 목적이 있다.
• 비정상적 신호에 복잡하고 겹치는 진동 성분을 포함하는 시간-주파수 분석의 적용 범위를 확장하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 주파수-시간 표현을 캐릭터 변환를 통해 3차원 시간-주파수-비틀림률(TFC) 표현으로 승격시켜 빈도 교차를 해결하기 위해 비틀림률 파라미터를 추가한다.
• 캐릭터 변환 출력에 위상 기반 재할당을 적용하여 순순간 위상을 사용해 더 농축된 TFC 표현을 도출한다.
• 위상 도함수 정보를 기반으로 캐릭터 변환의 시간-주파수-비틀림률 성분을 재할당함으로써 동기화된 캐릭터 변환(SCT)을 정의한다.
• 국소 2차 위상 가정 하에 방법의 타당성을 이론적으로 뒷받침하기 위해 $\varepsilon$-ICT(에프실론-순간 비틀림률) 모델을 사용한다.
• 적응형 윈도잉을 구현하고 합성 및 실세계 신호(예: 늑대 울음 녹음)에서 성능을 검증하여 SCT 알고리즘을 구현한다.
• 기존의 SST 이론을 고차원 시간-주파수 표현으로 확장하기 위해 $\varepsilon$-ICT 가정 하에 SCT의 이론적 수렴성과 안정성 보장을 수립한다.

Figure 1. Top row, from left to right: the plot of $\Re(f_{1}+f_{2})$ , the plot of the IFs of $f_{1}$ and $f_{2}$ , and the spectrogram. Note that their IFs have a crossing point at $(t_{0},\xi_{0})=(3,24)$ . All the plots are generated with the kernel $g_{0}=e^{-\pi x^{2}}$ . Second row, from left

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐릭터 변환은 비틀림률 차원에서의 블러를 줄이기 위해 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 캐릭터 변환의 위상 정보는 TFC 표현에서 에너지를 어떻게 재할당하여 더 높은 농축도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 교차하는 순간 주파수를 가진 모드를 분리할 때 동기화된 캐릭터 변환의 안정성과 정확성을 보장하는 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 SCT는 비정상적이고 비정현파적이며 겹치는 진동 성분을 포함한 실세계 신호에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 비다항 또는 비2차 위상 함수를 가진 신호에 적용했을 때 SCT의 계산적 및 이론적 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 합성 신호에서 동기화된 캐릭터 변환(SCT)은 교차하는 순간 주파수를 가진 모드를 명확한 TFC 표현을 통해 성공적으로 분리하였다.
• 원래의 캐릭터 변환에 비해 SCT는 비틀림률 축에서 강한 블러 문제를 악화시키지 않고도 TFC 표현에서 훨씬 높은 대비도를 달성하였다.
• 두 개의 2차 위상 성분으로 구성된 합성 신호에서 빈도 교차를 효과적으로 해결하였으며, 교차점은 $ t_0 = 3 $ 및 $ \xi_0 = 24 $에 위치하였다.
• 실세계 데이터, 예를 들어 16~17초 사이의 늑대 울음 신호에서 SCT는 여러 모드를 명확히 분리하였으며, TFC 플롯의 뚜렷한 에너지 리지 시각적 증거를 제공하였다.
• 이론적 분석을 통해 $\varepsilon$-ICT 가정 하에 SCT가 안정적이고 농축된 TFC 표현을 제공함을 확인하였으며, 동기화 기반 기법을 고차원 시간-주파수 표현으로 확장함을 증명하였다.
• 소음에 대한 내성은 경험적으로 관찰되었음(예: 그림 8 참조), 그러나 논문은 이론적 소음 내성 보장을 향후 연구 과제로 남기고 있다.

Figure 2. An illustration of SCT with the standard Gaussian window. From left to right: the 3-dim visualization of $\mathinner{\!\left\lvert S_{f}^{(g_{0})}(t,\xi,\lambda)\right\rvert}$ , the projection of $\mathinner{\!\left\lvert S_{f}^{(g_{0})}(t,\xi,\lambda)\right\rvert}$ onto the time-frequency