[논문 리뷰] Dispersion of inertial particles in cellular flows in the small-Stokes, large-P\\'eclet regime

A. Renaud, Jacques Vanneste|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Particle Dynamics in Fluid Flows참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소스터리스 수(St)가 매우 작고 페클레 수(Pe)가 매우 큰 조건($\mathrm{St} \ll 1$, $\mathrm{Pe} \gg 1$)이며 $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$인 경우, 세포 유동에서 관성 입자의 효과적 확산계수를 동질화 및 일치하는 점근적 기법을 사용하여 유도한다. 무거운 입자($\beta < 1$)는 $\mathrm{St}^{1/2}/\log(\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe})^{1/2}$ 비율로 강화된 확산을 경험하는 반면, 가벼운 입자($\beta > 1$)는 지수적으로 억제된 확산을 보이며, 이는 수치 시뮬레이션으로 검증된다.

ABSTRACT

We investigate the transport of inertial particles by cellular flows when advection dominates over inertia and diffusion, that is, for Stokes and P\\'eclet numbers satisfying $\\mathrm{St} \\ll 1$ and $\\mathrm{Pe} \\gg 1$. Starting from the Maxey--Riley model, we consider the distinguished scaling $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe} = O(1)$ and derive an effective Brownian dynamics approximating the full Langevin dynamics. We then apply homogenisation and matched-asymptotics techniques to obtain an explicit expression for the effective diffusivity $\\overline{D}$ characterising long-time dispersion. This expression quantifies how $\\overline{D}$, proportional to $\\mathrm{Pe}^{-1/2}$ when inertia is neglected, increases for particles heavier than the fluid and decreases for lighter particles. In particular, when $\\mathrm{St} \\gg \\mathrm{Pe}^{-1}$, we find that $\\overline{D}$ is proportional to $\\mathrm{St}^{1/2}/(\\log ( \\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}))^{1/2}$ for heavy particles and exponentially small in $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}$ for light particles. We verify our asymptotic predictions against numerical simulations of the particle dynamics.

연구 동기 및 목표

• 유동이 확산을 지배할 때 입자 관성의 영향을 장기적 확산에 어떻게 수정하는지 정량화하는 것.
• 기존의 비관성 효과적 확산계수 결과($\overline{D} \sim \mathrm{Pe}^{-1/2}$)를 소용정이지만 유한한 입자 관성의 경우로 확장하는 것.
• 특수한 조건인 $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$에서 효과적 확산계수 $\overline{D}$에 대한 명시적 점근적 표현을 유도하는 것.
• 무거운 입자와 가벼운 입자의 대비되는 행동—무거운 입자는 운반 강화, 가벼운 입자는 억제—을 점근적 분석을 통해 설명하는 것.

제안 방법

• 입자 관성 운동을 기술하기 위해 스토크스 마찰력과 추가 질량력을 포함한 Maxey–Riley 랑주 방정식을 사용한다.
• 소스터리스 수가 작고 페클레 수가 큰 근처에서 관성과 확산 효과를 균형 있게 유지하기 위해 특수 스케일링 $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$을 적용한다.
• 장기적 확산을 위한 효과적 브라운 운동 모델을 도출하기 위해 동질화 기법을 적용한다.
• 효과적 확산계수를 평가하기 위해 일치하는 점근적 기법과 적분 점근적 기법을 사용하며, 특히 확산비율을 지배하는 함수 $Z(\alpha)$의 행동을 분석한다.
• $\alpha \to \infty$ 및 $\alpha \to -\infty$ 조건에서 $Z(\alpha)$에 대한 명시적 점근 전개를 유도하며, 이는 각각 무거운 입자와 가벼운 입자에 해당한다.
• 전체 랑주 동역학의 수치 시뮬레이션과 효과적 확산계수의 직접 샘플링을 통해 분석 예측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathrm{St} \ll 1$ 이고 $\mathrm{Pe} \gg 1$ 이며 $\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$ 조건에서 입자 관성이 세포 유동의 효과적 확산계수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 왜 무거운 입자는 확산 강화를 보이고 가벼운 입자는 확산 억제를 보이는가?
• RQ3 관성 영역에서 효과적 확산계수의 소스터리스 수와 페클레 수에 대한 기능적 의존성은 무엇인가?
• RQ4 무거운 입자에 대한 확산계수 강화는 점근적 분석으로 정량적으로 기술될 수 있는가?
• RQ5 횡방향 유선 이동항 $b(\psi)$의 부호가 장기적 확산 행동에 영향을 미치는가, 특히 $b(\psi)$가 단조가 아닌 유동의 경우에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 무거운 입자($\mathrm{St} \gg \mathrm{Pe}^{-1}$)의 경우, 효과적 확산계수는 $\overline{D} \sim \mathrm{St}^{1/2} / \log(\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe})^{1/2}$ 비율로 스케일링되며, 이는 비관성 조건보다 상당한 강화를 나타낸다.
• 가벼운 입자($\mathrm{St} \gg \mathrm{Pe}^{-1}$)의 경우, 효과적 확산계수는 $\overline{D} \sim \mathrm{e}^{-\Upsilon \cdot \mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe}}$ 비율로 지수적으로 감소하며, $\Upsilon \approx 0.655$ 이다. 이는 확산의 강력한 억제를 초래한다.
• 효과적 확산계수 비율 $\overline{D}(\mathrm{Pe}, \alpha)/\overline{D}(\mathrm{Pe}, 0)$ 는 함수 $1/Z(\alpha)$에 의해 지배되며, 이는 큰 양의 $\alpha$와 음의 $\alpha$ 조건에서 점근적으로 유도된다.
• $\alpha \to \infty$ 조건에서 $Z(\alpha)$의 점근 전개는 정확한 수치 평가에 필수적인 로그 보정항을 포함하며, $\alpha$에 따라 느리게 감소한다.
• 전체 랑주 동역학의 수치 시뮬레이션은 분석 예측을 확인하며, $\overline{D}$에 대한 유도된 점근 표현식의 타당성을 검증한다.
• 어떤 유동에서 $b(\psi)$가 음수일 경우, 이는 무거운 입자에 대한 확산계수 억제의 이론적 가능성을 시사하지만, 본 연구에서는 그러한 유동을 발견하지 못했다.