[논문 리뷰] Disproving Heisenberg's error-disturbance relation

Masanao Ozawa|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 16.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 3인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 부시, 라티, 워너(Busch, Lahti, and Werner, 이하 BLW)가 최근 헤이젠베르크의 오차-왜곡 관계(Error-Disturbance Relation, EDR)를 새로운 오차 및 왜곡 정의를 사용하여 원래 형태로 엄밀하게 증명할 수 있다고 주장한 데 도전한다. 선형 위치 측정의 해석 가능한 모델—특히 오차가 없는 수축 상태 측정을 포함하여 분석함으로써, BLW의 증명은 오차 및 왜곡이 유계인 공변 공통 POVM의 존재를 잘못 가정한 데 기인하여 실패함을 보여주며, 이러한 모델들은 제곱근 평균 제곱 오차(root-mean-square error)가 0이고 왜곡은 유한함을 보이며, 이는 헤이젠베르크의 EDR를 위반하고 BLW의 결론을 뒤엎음으로써 이를 입증한다.

ABSTRACT

Recently, Busch, Lahti, and Werner (arXiv:1306.1565v1 [quant-ph]) claimed that Heisenberg's error-disturbance relation can be proved in its original form with new formulations of error and disturbance, in contrast to the theory proposed by the present author and confirmed by recent experiments. Despite their claim, it is shown here that a class of solvable models of position measurement with explicit interaction Hamiltonians escape the Busch-Lahti-Werner relation. It is also made clear where their proof fails. Those models have unambiguously defined zero root-mean-square error and finite root-mean-square disturbance in every input state and are naturally considered to violate Heisenberg's error-disturbance relation in any conceivable formulation.

연구 동기 및 목표

• 부시, 라티, 워너(Busch, Lahti, and Werner, 이하 BLW)가 제안한 오차 및 왜곡의 새로운 정의를 사용하여 헤이젠베르크의 원래 오차-왜곡 관계(Error-Disturbance Relation, EDR)를 엄밀하게 증명할 수 있다는 주장에 도전하기 위해.
• BLW의 증명이 모든 측정에 대해 오차 및 왜곡이 유계인 공변 공통 POVM의 존재를 가정하는 잘못된 전제에 의존한다는 것을 보여주기 위해.
• 특히 오차가 없는 수축 상태 측정을 포함한 해석 가능한 선형 측정 모델이 제곱근 평균 제곱 오차가 0이고 제곱근 평균 제곱 왜곡이 유한함을 보이며, BLW의 주장과 모순됨을 보여주기 위해.
• 헤이젠베르크의 EDR가 실패하는 이유가 왜곡 정의의 오류 때문이 아니라 BLW의 수학적 추론에 내재된 근본적 결함 때문임을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 해석 가능한 선형 위치 측정 모델을 분석하며, 상호작용 해밀토니안을 명시적으로 포함한다. 오차가 없는 수축 상태 측정을 포함한다.
• 측정 이전과 이후의 관측 가능량 간의 차이를 기반으로 표준 양자역학적 제곱근 평균 제곱 오차 및 왜곡 정의를 적용한다.
• 삼각 부등식과 근사 고유상태 분석을 사용하여 오차 및 왜곡을 상태에 의존하는 편차의 함수로 유계화한다.
• R²의 스톤-체하프 컴actsation에 대한 공통 POVM의 공간에 마르코프-카쿠타니 고정점 정리(Markov-Kakutani fixed-point theorem)를 적용하여 POVM 집합의 폐쇄 내 고정점을 식별한다.
• 폐쇄 내 고정점 POVM은 Π(R²) = 0를 만족할 수 있으며, 이는 R² 위의 유효한 공통 POVM가 아니므로 BLW의 오차 및 왜곡이 유계인 공변 POVM의 존재를 가정하는 것이 잘못되었음을 입증한다.
• 오차가 없는 선형 측정에 대해서는 BLW의 오차 및 왜곡 측정치가 무한대가 되며, 이는 그들이 측정이 EDR를 만족한다고 주장하는 것과 모순됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부시, 라티, 워너(Busch, Lahti, and Werner)가 제안한 새로운 오차 및 왜곡 정의를 사용하여 헤이젠베르크의 원래 오차-왜곡 관계(Error-Disturbance Relation, EDR)를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ2 제곱근 평균 제곱 오차가 0이고 제곱근 평균 제곱 왜곡이 유한한 해석 가능한 선형 측정 모델이 물리적으로 의미 있는 어떤 형태로든 헤이젠베르크의 EDR를 위반하는가?
• RQ3 BLW의 증명에서, 모든 공통 POVM에 대해 오차 및 왜곡이 최소한 동일한 공변 POVM이 존재한다는 가정은 수학적으로 타당한가?
• RQ4 BLW가 제안한 오차 및 왜곡 측정치는 헤이젠베르크의 원래 사고 실험의 물리적 본질을 올바르게 반영하는가?
• RQ5 BLW의 증명에서 공통 POVM 집합에 마르코프-카쿠타니 고정점 정리를 적용하여 오차 및 왜곡이 유계인 공변 POVM의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 오차가 없는 수축 상태 측정 모델은 제곱근 평균 제곱 오차가 0이고 제곱근 평균 제곱 왜곡이 유한하며, 이는 헤이젠베르크의 EDR와 모순된다.
• BLW의 증명은 모든 측정에 대해 오차 및 왜곡이 유계인 공변 공통 POVM의 존재를 가정하지만, 오차가 없는 선형 측정에서는 그러한 POVM이 존재하지 않기 때문에 실패한다.
• 공통 POVM 집합의 폐쇄 내에서 마르코프-카쿠타니 고정점 정리를 적용한 결과, 고정점 POVM이 Π(R²) = 0를 만족할 수 있으며, 이는 R² 위의 유효한 공통 POVM가 아니므로 BLW의 주장은 기반을 잃는다.
• 오차가 없는 선형 측정에 대해서는 BLW의 오차 및 왜곡 측정치가 무한대가 되며, 이는 그들의 정의가 측정 과정의 물리적 본질을 제대로 반영하지 못함을 시사한다.
• 제곱근 평균 제곱 오차 및 왜곡은 선형 측정에서 전통적인 고전적 정의를 통해 명확하게 정의되며, 측정 이전과 이후의 관측 가능량이 가환하므로 BLW의 정의 비판은 무력화된다.
• 해석 가능한 모델의 명시적 반례를 통해, 헤이젠베르크의 EDR가 BLW의 정의를 사용하여 원래 형태로 엄밀하게 증명될 수 있다는 주장은 근거가 없음을 입증한다.