[논문 리뷰] Dissipative Mechanics Using Complex-Valued Hamiltonians

S. G. Rajeev|ArXiv.org|2007. 01. 19.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 좌표와 복소 해밀토니안을 도입하여 소산 시스템에 대한 복잡한 구조의 해밀토니안 형식을 제안한다. 이는 에너지 소산 동역학을 해밀토니안적으로 다룰 수 있게 하며, 비에르미트 양자 해밀토니안을 도출하여 불안정한 고유 상태가 기본 상태로 붕괴되는 현상을 기술한다. 이 형식은 거의 복소 구조를 통해 곡률이 있는 위상공간으로 일반화된다.

ABSTRACT

We show that a large class of dissipative systems can be brought to a canonical form by introducing complex co-ordinates in phase space and a complex-valued hamiltonian. A naive canonical quantization of these systems lead to non-hermitean hamiltonian operators. The excited states are unstable and decay to the ground state . We also compute the tunneling amplitude across a potential barrier.

연구 동기 및 목표

• 복소수 위상공간 좌표와 복소 해밀토니안을 사용하여 소산 시스템에 대한 해밀토니안 형식을 개발한다.
• 해밀토니안 구조에 소산을 통합하여 고전역학과 양자역학을 에너지 손실을 포함하도록 일반화한다.
• 비에르미트 해밀토니안과 복소 고유값을 통해 소산 시스템의 해밀토니안 양자화를 가능하게 한다.
• 리만 기하학과 거의 복소 구조를 사용하여 곡률이 있는 위상공간으로 이 형식을 일반화한다.
• 터널링과 붕괴 과정을 포함한 소산 동역학을 연구하기 위한 기하학적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 복소 해밀토니안 H = H₁ + iH₂ 를 도입하며, 여기서 H₁ 은 실수부(수정된 운동에너지 및 위치에너지)이고 H₂ 는 허수부(소산 항)이다.
• 행렬 J 를 사용하여 수정된 포아송 괄호를 정의하며, J² = -1 를 만족하여 위상공간 벡터에 대해 i 승수를 수행한다.
• 행렬 J 를 사용해 해밀토니안의 허수부를 소산을 유도하는 벡터장으로 변환함으로써 실수값 위상공간 궤적을 유지한다.
• 대응 원칙을 적용하여 양자화를 수행함으로써 비에르미트 해밀토니안 연산자를 도출하며, 이는 복소 고유값을 갖는다.
• 리만 계량 g_ab 와 볼록 잠재력 W 에서 유도된 소산 텐서 γ_ab 를 사용해 코탄제인트 배럴 T*Q 에 이 형식을 일반화한다.
• 변환된 운동량 p̃_a = p_a + ∂_a W 를 정의하여 보존적 및 소산적 동역학을 분리함으로써, 새로운 변수들 위에서 복소 해밀토니안 구조를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소산 시스템은 복소수 좌표와 복소 해밀토니안을 사용하여 해밀토니안 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 복소 해밀토니안의 도입이 에너지 손실을 기술하는 일관된 고전적 및 양자적 기술을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 거의 복소 구조 J 는 실수값 위상공간 진동을 유지하면서 소산적 동역학을 어떻게 유도하는가?
• RQ4 비에르미트 해밀토니안 존재 하에서 ω₂ 의 선택은 양자 이론에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비정수 계량과 비정수 소산 텐서를 갖는 곡률이 있는 위상공간에 이 형식을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 다양한 소산 시스템은 복소 해밀토니안 H = H₁ + iH₂ 를 통해 기술될 수 있으며, 이때 허수부 H₂ 가 에너지 소산을 지배한다.
• 복소 해밀토니안에도 불구하고, J² = -1 을 만족하는 행렬 J 의 작용으로 인해 고전적 운동 방정식은 실수값을 갖는다. 이는 위상공간 벡터에 대해 i 승수를 수행하는 방식으로 실현된다.
• 해밀토니안 양자화는 복소 고유값을 갖는 비에르미트 해밀토니안 연산자를 도출하며, 여기서 고유 상태는 불안정하고 기본 상태로 붕괴된다.
• 해밀토니안에 허수 상수 ic 를 더함으로써 기본 상태는 안정화될 수 있으며, 이로 인해 고유값이 실수로 유지된다.
• 리만 계량과 볼록 잠재력 W 에서 유도된 소산 텐서 γ_ab 를 사용하여 곡률이 있는 위상공간으로 이 형식을 일반화할 수 있으며, 변환된 운동량 p̃_a 는 복소 해밀토니안 구조를 가능하게 한다.
• 결과적으로 도출된 양자이론은 ω₂ 의 선택에 따라 달라지며, 이는 해밀토니안의 허수부에 나타나고 슈뢰딩거 방정식의 비에르미트 항에 영향을 미친다.