[논문 리뷰] Dissipative Quantum Mechanics: The Generalization of the Canonical Quantization and von Neumann Equation

Vasily E. Tarasov|ArXiv.org|1994. 10. 05.

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한 줄 요약

이 논문은 좌표 및 운동량 연산자로 구성된 표준 히젠베르크 대수를 확장하는 비결합성, 비리 대수적 연산자 W를 도입하여 소산하는 양자 시스템에 대한 일반화된 캐논리컬 양자화 프레임워크를 제안한다. 이 방법은 캐논리컬 교환관계를 유지하면서도 소산 시스템에 대해 호환 가능한 양자 운동 방정식을 허용하며, 고전적 리우빌 역학에 일치하는 수정된 본 네만 방정식을 이끌어낸다.

ABSTRACT

The dissipative models in string theory can have more broad range of application: 1) Noncritical strings are dissipative systems in the "coupling constant" phase space. 2) Bosonic string in the affine-metric curved space is dissipative system. But the quantum descriptions of the dissipative systems have well known ambiguities. In order to solve the problems of the quantum description of dissipative systems we suggest to introduce an operator W in addition to usual (associative) operators. The suggested operator algebra does not violate Heisenberg algebra because we extend the canonical commutation relations by introducing an operator W of the nonholonomic quantities in addition to the usual (associative) operators of usual (holonomic) coordinate -momentum functions. To satisfy the generalized commutation relations the operator W must be nonassociative nonLieble (does not satisfied the Jacobi identity) operator. As the result of these properties the total time derivative of the multiplication and commutator of the operators does not satisfies the Leibnitz rule. This lead to compatibility of quantum equations of motion for dissipative systems and canonical commutation relations. The suggested generalization of the von Neumann equation is connected with classical Liouville equation for dissipative systems.

연구 동기 및 목표

• 소산하는 시스템의 양자 기술에 오랫동안 지속된 애매함을 해결하기 위해.
• 결합 대수를 초월하여 비통합도(비가역) 자유도를 포함하는 캐논리컬 양자화를 확장하기 위해.
• 양자 운동 방정식과 일반화된 교환관계 사이의 일관성을 유지하기 위해.
• 고전적 소산 리우빌 역학과 호환되는 수정된 본 네만 방정식을 유도하기 위해.
• 비임계 끈과 곡면도 메트릭이 있는 보송 끈과 같은 소산 시스템에 적용 가능한 수학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 좌표 및 운동량 연산자의 표준 히젠베르크 대수를 확장하기 위해 비결합성, 비리 대수적 연산자 W를 도입한다.
• 비통합도(비가역) 자유도를 나타내는 W를 추가하여 캐논리컬 교환관계를 수정한다.
• 비결합성으로 인해 연산자 곱과 교환관계의 총시간미분이 더 이상 라이프니츠 법칙을 따르지 않음을 보장한다.
• 수정된 교환관계와 호환되는 일반화된 본 네만 방정식을 구축한다.
• 일반화된 양자 역학과 소산 시스템에 대한 고전적 리우빌 방정식 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 이 프레임워크를 비임계 끈과 애핀-메트릭 곡면도에서의 보송 끈과 같은 소산 시스템을 기술하는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논리컬 양자화는 어떻게 일관되게 소산 양자 시스템을 기술할 수 있는가?
• RQ2 표준 캐논리컬 교환관계를 유지하면서도 소산을 수용할 수 있는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 연산자 W의 비결합성은 양자 관측량의 시간 진화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 소산 고전 역학과 호환되는 수정된 본 네만 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 형식은 비임계 또는 곡면도 끈과 같은 끈 이론 모델에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 비결합성, 비리 대수적 연산자 W의 도입은 표준 히젠베르크 대수를 위반하지 않으면서도 소산 시스템의 일관된 양자화를 가능하게 한다.
• W의 비결합성으로 인해 연산자 곱과 교환관계의 시간미분이 더 이상 라이프니츠 법칙을 따르지 않으며, 이는 소산 역학과의 호환성을 가능하게 한다.
• 일반화된 본 네만 방정식이 도출되었고, 이는 소산 시스템에 대한 고전적 리우빌 방정식과 일관됨이 입증되었다.
• 이 형식은 비임계 끈과 애핀-메트릭 곡면도에서의 보송 끈과 같은 물리적 시스템에 적용 가능하며, 이들은 결합 상수 위상공간에서 소산으로 간주된다.
• 이 형식은 결합 대수를 초월하는 연산자 대수의 확장을 통해 소산의 양자 기술에 대한 애매함을 해결한다.
• 표준 캐논리컬 양자화가 대칭성이 깨지거나 에너지가 보존되지 않는 경우 실패하는 시스템을 수학적으로 일관되게 양자화할 수 있는 길을 제공한다.