[논문 리뷰] Distance between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 03.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 41인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 그라스만이안의 대수기하학을 활용하여 서로 다른 차원의 부분공간 간 및 애프인 부분공간 간의 통합적이고 내재된 거리 측도를 제안한다. 주된 각도와 주요 벡터를 사용하여 표준 그라스만 거리의 일반화를 통해, 다양한 데이터 과학 및 기하학적 하위공간 비교 작업에 적용 가능한 안정적이고 임bedding이 없는 계산이 가능하다.

ABSTRACT

We resolve two problems regarding subspace distances that have arisen considerably often in applications: How could one define a notion of distance between (i) two linear subspaces of different dimensions, or (ii) two affine subspaces of the same dimension, in a way that generalizes the usual Grassmann distance between equidimensional linear subspaces? We show that (i) is the distance of a point to a Schubert variety, and (ii) is the distance in the Grassmannian of affine subspaces, both regarded as subvarieties in the Grassmannian. Combining (i) and (ii) yields a notion of distance between (iii) two affine subspaces of different dimensions. Aside from reducing to the usual Grassmann distance when the subspaces in (i) are equidimensional or when the affine subspaces in (ii) are linear subspaces, these distances are intrinsic and do not depend on any embedding. Furthermore, they may all be written down as concrete expressions involving principal angles and principal vectors, and are efficiently computable in numerical stable ways. We show that our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distance between subspaces. Central to our approach to these problem is a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is now well-established in applied and computational mathematics. A secondary goal of this article is to demonstrate that the basic algebraic geometry of Grassmannian can be just as accessible and useful to practitioners.

연구 동기 및 목표

• 응용수학에서 표준 해결책이 없는, 서로 다른 차원의 선형 부분공간 간의 거리 정의
• 동일한 차원의 애프인 부분공간으로의 부분공간 거리 개념의 확장으로, 선형 부분공간을 초월한 그라스만 거리의 일반화
• 선형 부분공간과 애프인 부분공간 간의 다양한 차원을 모두 다룰 수 있는 단일 프레임워크로의 통합
• 주요 각도와 주요 벡터를 사용하여 내재적이고 임베딩이 없는, 수치적으로 안정적인 거리 측정 보장
• 그라스만이안의 대수기하학이 응용 연구자들에게 접근 가능하고 실용적으로 유용하다는 것을 보여줌

제안 방법

• 서로 다른 차원의 부분공간 간의 거리를 그라스만이안 내의 슈베르트 다양체까지의 점과의 거리로 모델링
• 동일한 차원의 애프인 부분공간 간의 거리를 애프인 부분공간의 그라스만이안 내에서의 거리로 공식화하며, 이를 부분다양체로 간주
• 모든 거리를 주요 각도와 주요 벡터를 사용하여 닫힌 형태로 표현하여 수치적 안정성과 효율적인 계산 가능
• 서로 다른 차원의 부분공간 간의 거리가 선형 부분공간이면서 동차일 경우 표준 그라스만 거리로 축소됨을 입증
• 기존의 미분기하학적 접근과 평행한, 그라스만이안에 대한 대수기하학적 시각을 전체 접근에 통합
• 그라스만 거리가 다른 일반적인 부분공간 거리로 대체되어도 프레임워크가 유지됨을 보여줌

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 차원의 두 선형 부분공간 간에 그라스만 거리를 일반화할 수 있는 의미 있는 거리 정의는 어떻게 가능할까?
• RQ2 동일한 차원의 애프인 부분공간에 대해 그라스만 거리의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 서로 다른 차원의 선형 및 애프인 부분공간을 모두 다룰 수 있는 통합된 거리 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ4 주요 각도와 주요 벡터와 같은 기하학적 불변량을 사용하여 이러한 거리를 안정적이고 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 그라스만이안의 대수기하학이 응용 연구자들에게 얼마나 접근 가능하고 실용적으로 유용하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 서로 다른 차원의 부분공간 간 거리는 그라스만이안 내의 슈베르트 다양체까지의 점과의 거리로 정의되며, 기하학적으로 타당한 일반화를 제공한다.
• 동일한 차원의 애프인 부분공간 간 거리는 애프인 부분공간의 그라스만이안 내의 거리로 공식화되어 내재된 기하학적 구조를 유지한다.
• 제안된 거리는 임베딩 없이 내재적이며 어떤 더 큰 공간에 대한 종속성이 없어, 강건성과 일관성을 보장한다.
• 모든 거리는 주요 각도와 주요 벡터를 사용하여 명시적으로 계산 가능하여 안정적인 수치 평가가 가능하다.
• 그라스만 거리가 다른 일반적인 부분공간 거리로 대체되어도 프레임워크가 유지되어 유연성이 향상된다.
• 그라스만이안에 대한 대수기하학적 접근이 이론적으로 탄탄하며, 응용 연구에 실질적으로 접근 가능하다는 것이 입증되었다.