[논문 리뷰] Distance proper connection of graphs

Xueliang Li, Colton Magnant외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 21.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 간색 그래프에서 거리 ℓ-적절 연결의 개념을 도입하며, 모든 정점 쌍 간에 k개의 내부적으로 분리된 거리 ℓ-적절 경로를 확보하기 위해 필요한 최소 색 수인 (k,ℓ)-적절 연결 수를 정의한다. 2-연결 그래프 G에 대해 (1,2)-적절 연결 수 pc₁,₂(G) ≤ 5임을 증명하고, 대부분의 그래프에 대해 합과 카르테시안 곱의 날카운 상한을 3으로 설정하며, 나무, 완전 그래프, 휠, 큐브, 추적 가능한 그래프의 순열 그래프에 대해 정확한 값을 결정한다.

ABSTRACT

Let $G$ be an edge-colored connected graph. A path $P$ in $G$ is called a distance $\ell$-proper path if no two edges of the same color appear with fewer than $\ell$ edges in between on $P$. The graph $G$ is called $(k,\ell)$-proper connected if every pair of distinct vertices of $G$ are connected by $k$ pairwise internally vertex-disjoint distance $\ell$-proper paths in $G$. For a $k$-connected graph $G$, the minimum number of colors needed to make $G$ $(k,\ell)$-proper connected is called the $(k,\ell)$-proper connection number of $G$ and denoted by $pc_{k,\ell}(G)$. In this paper, we prove that $pc_{1,2}(G)\leq 5$ for any $2$-connected graph $G$. Considering graph operations, we find that $3$ is a sharp upper bound for the $(1,2)$-proper connection number of the join and the Cartesian product of almost all graphs. In addition, we find some basic properties of the $(k,\ell)$-proper connection number and determine the values of $pc_{1,\ell}(G)$ where $G$ is a traceable graph, a tree, a complete bipartite graph, a complete multipartite graph, a wheel, a cube or a permutation graph of a nontrivial traceable graph.

연구 동기 및 목표

• 간색 그래프에서 거리 ℓ-적절 경로와 (k,ℓ)-적절 연결성의 개념을 도입하고 체계화한다.
• 나무, 완전 이분 그래프, 휠, 큐브, 순열 그래프 등 다양한 그래프 가족에 대해 (1,2)-적절 연결 수 pc₁,₂(G)를 결정한다.
• 합과 카르테시안 곱과 같은 그래프 연산에 대해 pc₁,₂(G)의 날카운 상한을 설정한다.
• (k,ℓ)-적절 연결성과 레인보우 연결 및 적절 연결과 같은 기존 개념 간의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 같은 색의 두 간선이 서로 간격이 ℓ개 이하의 간선으로 분리되지 않은 경로를 거리 ℓ-적절 경로로 정의한다.
• 모든 정점 쌍 간에 k개의 내부적으로 정점 분리된 거리 ℓ-적절 경로를 확보하기 위해 필요한 최소 색 수인 (k,ℓ)-적절 연결 수 pcₖ,ℓ(G)를 정의한다.
• 거리 ℓ-적절성 유지 보장을 위해 경로와 사이클의 간선에 색을 할당하기 위해 재귀적이고 구성적인 색 할당 기법을 사용한다.
• 구조적 그래프 이론과 경로 분해를 적용하여 추적 가능한 그래프, 완전 다분할 그래프, 순열 그래프 등의 그래프 가족을 분석한다.
• 색상 시퀀스와 대칭성을 활용하여 별, 큐브, 카르테시안 곱과 같은 특정 그래프에 대해 명시적인 (1,2)-적절 경로 색 할당을 구성한다.
• 모든 구성된 색 할당이 모든 정점 쌍 간에 유효한 (1,2)-적절 경로를 생성함을 검증하여 상한이 날카로움을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 2-연결 그래프 G에 대해 pc₁,₂(G)의 최대값은 얼마인가?
• RQ2 특히 하나가 별인 경우, 두 그래프의 합과 카르테시안 곱의 (1,2)-적절 연결 수는 얼마인가?
• RQ3 나무, 완전 이분 그래프, 휠, 큐브와 같은 특수 그래프 클래스의 (1,2)-적절 연결 수는 얼마인가?
• RQ4 추적 가능한 그래프의 순열 그래프에 대해 (1,ℓ)-적절 연결 수가 ℓ에 따라 유계가 될 수 있는가?
• RQ5 G가 별이고 H가 반경 3 이상의 스패닝 트리를 갖는 경우, pc₁,₂(S□T)에 대한 4의 상한이 날카로운가?

주요 결과

• 모든 2-연결 그래프 G에 대해 (1,2)-적절 연결 수는 pc₁,₂(G) ≤ 5를 만족한다.
• hầu불린 대부분의 그래프에 대해 합과 카르테시안 곱의 (1,2)-적절 연결 수는 최대 3이며, 이는 날카운 상한이다.
• 추적 가능한 그래프 G에 대해 그 순열 그래프의 (1,ℓ)-적절 연결 수는 pc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1을 만족한다.
• 나무의 (1,2)-적절 연결 수는 2이며, 완전 이분 그래프 K_{m,n}의 경우 3이다.
• 휠 W_n의 (1,2)-적절 연결 수는 n ≥ 4일 때 3이며, 큐브의 경우 3이다.
• 비자명한 추적 가능한 그래프의 순열 그래프에 대해 임의의 순열 α에 대해 pc₁,ℓ(Pₐ(G)) ≤ ℓ + 1이 성립한다.