[논문 리뷰] Distances on a masure (affine ordered hovel)

Auguste Hébert|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비아치메드선 국소체 위의 분할 Kac-Moody 군과 관련된 Bruhat-Tits 빌딩의 일반화인 masure에 대한 거리 구조를 구성하고 분석한다. 양형과 음형 거리를 도입하여 아파프틱 평면에서의 위상 구조를 유지하고 군 작용과 재접합의 연속성을 보장한다. 주요 기여는 양형과 음형 거리의 합인 혼합 거리를 구성한 것으로, 이는 수축 가능하고 완비적이며 국소적으로 컴acts한 위상을 유도하며 군 작용이 리프시츠 조건을 만족시킨다.

ABSTRACT

A masure (a.k.a affine ordered hovel) I is a generalization of the Bruhat-Tits building that is associated to a split Kac-Moody group G over a non-archimedean local field. This is a union of affine spaces called apartments. When G is a reductive group, I is a building and there is a G-invariant distance inducing a norm on each apartment. In this paper, we study distances on I inducing the affine topology on each apartment. We show that some properties (completeness, local compactness, ...) cannot be satisfyed when G is not reductive. Nevertheless, we construct distances such that each element of G is a continuous automorphism of I.

연구 동기 및 목표

• 모든 아파트에서 아파프틱 위상을 유도하고 Kac-Moody 군 G의 작용과 호환되는 masure 위의 거리를 정의한다.
• 건물이 아닌 masure에서 완비적이며 국소적으로 컴acts하고 G-불변인 거리의 부재 문제를 다스린다. 이는 노름 제약이 있는 메트릭을 지지할 수 없다.
• 모든 군 원소와 섹터-균형 중심의 재접합이 리프시츠 연속인 거리를 구성한다.
• 양형과 음형 거리를 조합한 혼합 거리를 도입하여 완비성, 국소 컴팩트성, 이산 궤도를 달성한다.
• 양형, 음형, 혼합 거리에 의해 유도된 위상에서 masure가 수축 가능함을 증명한다. 이는 위상적 다루기 용이성을 보장한다.

제안 방법

• 기본 아파트에서 고정된 노름을 사용하여 섹터-균형과 재접합을 활용해 양형 및 음형 거리를 정의한다.
• 섹터-균형 중심의 재접합을 통해 거리를 구성하여 동일한 부호의 재접합이 1-리프시츠 성질을 가지며 군 원소의 리프시츠 연속성을 보장한다.
• 모든 양형 거리(또는 음형 거리) 사이에 $kd_1 \leq d_2 \leq \ell d_1$ ($k,\ell > 0$) 관계가 성립함을 증명하여, $\mathscr{T}_+$ 및 $\mathscr{T}_-$ 위상이 잘 정의됨을 보장한다.
• 양형 거리와 음형 거리의 합으로 이루어진 혼합 거리를 도입하여 모든 군 작용과 재접합과의 호환성을 확보한다.
• +_{+\infty}와 재접합 $\rho_{\pm\infty}$의 연속성을 이용해 위상 내 경로의 수렴성과 연속성을 증명한다.
• 이동과 재접합을 이용해 명시적인 강한 변형 재접합 $\chi_u$와 $\Upsilon_u$를 구성하여 masure의 수축 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 건물이 아닌 masure가 각 아파트에서 아파프틱 위상을 유도하고 군 G-불변인 거리를 가질 수 있는가?
• RQ2 군 작용과 재접합과 호환되는 masure 위의 거리의 위상적 및 메트릭적 성질(완비성, 국소 컴팩트성)은 무엇인가?
• RQ3 모든 $g \in G$ 가 리프시츠 함수로 작용하고, 섹터-균형 중심의 모든 재접합이 리프시츠 연속인 거리가 존재하는가?
• RQ4 특수 정점의 G-궤도가 이산적이면서도 재접합과 군 작용의 연속성을 유지하는 masure 위에 위상을 구성할 수 있는가?
• RQ5 양형, 음형 또는 혼합 거리에 의해 유도된 위상에서 masure는 수축 가능한가?

주요 결과

• masure 위의 어떤 거리도 각 아파트에서 노름을 유도하지 않으며, 재접합이 연속일 경우 이러한 거리는 완비적이거나 국소적으로 컴팩트하지 않다.
• 모든 양형 거리는 서로 동치이며 유일한 위상 $\mathscr{T}_+$ 를 정의한다. 마찬가지로 음형 거리들 역시 동치이며 $\mathscr{T}_-$ 를 정의한다.
• masure가 건물이 아니면 위상 $\mathscr{T}_+$ 와 $\mathscr{T}_-$ 는 서로 다를 수 있으나, masure가 건물일 경우 표준 건물 위상과 일치한다.
• 양형 및 음형 거리의 합인 혼합 거리는 모든 구성 방식에서 동치이며, 완비적이며 국소적으로 컴팩트한 위상 $\mathscr{T}_m$ 을 유도한다.
• 혼합 위상 $\mathscr{T}_m$ 에서 특수 정점의 G-궤도 $\mathcal{I}_0$ 는 이산적이며, 모든 군 원소와 재접합은 리프시츠 조건을 만족한다.
• 모든 $\mathscr{T}_+$, $\mathscr{T}_-$, $\mathscr{T}_m$ 위상에서 masure $\mathcal{I}$ 는 수축 가능하며, 이는 이동과 재접합 함수를 이용한 명시적 강한 변형 재접합을 구성함으로써 증명된다.