[논문 리뷰] Distinct and repeated distances on a surface and incidences between points and spheres

Micha Sharir, Noam Solomon|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 06.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 점이 일정 차수의 대수적 곡면 위에 있을 때 3차원에서 점과 구 사이의 인cidences에 대해 향상된 경계를 확립하며, 이는 고립된 거리 문제에 대해 더 강력한 하한($\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$)과 단위 거리 문제에 대해 날카러진 상한($O(n^{4/3})$)을 이끌어낸다. 이러한 결과는 원형 구조를 고려한 새로운 인cidences 경계를 활용하며, 이는 이전 연구에서 제거된 구의 열화 조건을 없애고 임의의 점-곡면 구성으로 일반화함으로써 기존 결과를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper we show that the number of distinct distances determined by a set of $n$ points on a constant-degree two-dimensional algebraic variety $V$ (i.e., a surface) in $\mathbb R^3$ is at least $Ω\left(n^{7/9}/{ m polylog} \,n ight)$. This bound is significantly larger than the conjectured bound $Ω(n^{2/3})$ for general point sets in $\mathbb R^3$. We also show that the number of unit distances determined by $n$ points on a surface $V$, as above, is $O(n^{4/3})$, a bound that matches the best known planar bound, and is worst-case tight in 3-space. This is in sharp contrast with the best known general bound $O(n^{3/2})$ for points in three dimensions. To prove these results, we establish an improved upper bound for the number of incidences between a set $P$ of $m$ points and a set $S$ of $n$ spheres, of arbitrary radii, in $\mathbb R^3$, provided that the points lie on an algebraic surface $V$ of constant degree, which does not have linear or spherical components. Specifically, the bound is $$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^β(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| ight) , $$ where the constant of proportionality and the constant exponent $β$ depend on the degree of $V$, and where the sum ranges over all circles $c$ that are fully contained in $V$, so that, for each such $c$, $P_c = P\cap c$ and $S_c$ is the set of the spheres of $S$ that contain $c$. In addition, $\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$ and $\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$. This bound too improves upon earlier known bounds. These have been obtained for arbitrary point sets but only under severe restrictions about the spheres, which are dropped in our result. Another interesting application of our result is an incidence bound for arbitrary points and spheres in 3-space, where we improve and generalize the previous work of Apfelbaum and Sharir[AS].

연구 동기 및 목표

• 3차원 실수 공간 $\mathbb{R}^3$에 있는 일정 차수의 대수적 곡면 위에 있는 $n$개의 점이 결정하는 서로 다른 거리의 수에 대해 더 날카운 경계를 확립하기 위해.
• 이러한 곡면 위에서 단위 거리의 수에 대한 향상된 상한을 유도하여, 가장 잘 알려진 평면 상한과 일치시키기 위해.
• 점이 평면적이거나 구형 성분을 포함하지 않는 곡면 위에 있을 때 3차원 실수 공간 $\mathbb{R}^3$ 내 점과 구 사이의 정교한 인cidences 경계를 개발하기 위해.
• Apfelbaum과 Sharir의 결과를 일반화하고 개선하기 위해, 특히 구의 비열화 조건에 대한 제약을 제거함으로써 이전의 인cidences 경계를 향상시키기 위해.
• 인cidences 결과를 반복된 거리 및 고립된 거리 문제에 적용하고, 더 높은 차원의 대수적 곡면 가중치로의 확장을 제안하기 위해.

제안 방법

• 공간을 세포로 분할하기 위해 다항식 분할 기법을 사용하여, 각 세포에 최대한의 점과 구가 포함되도록 한다.
• 인cidences 수를 두 부분으로 나누며: $I_0(P,S)$는 큰 완전 이분 그래프 하위구조로 설명되지 않는 '우연한' 인cidences를 세며, 곡면 $V$에 포함된 원 $c$에 대한 합은 $P_c \times S_c$로 표현되며, 이는 $V$에 완전히 포함되고 여러 개의 구에 포함된 원에 의해 유도된 인cidences를 나타낸다.
• $I_0(P,S)$에 대한 경계는 귀납법과 분할 분석을 통해 유도되며, $O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$로 표현되며, $\beta$와 상수는 곡면의 차수에 따라 달라진다.
• 분석 과정에서 원 $c$에 대한 합 $∑_c |P_c| = O(m)$ 및 $∑_c |S_c| = O(n)$을 고려하여 총 기여도가 유한하게 유지됨을 보장한다.
• 이 방법은 표면에 제한되지 않은 일반적인 점 집합에도 적용 가능하며, Apfelbaum과 Sharir의 경계를 개선하여 구의 비열화 조건을 가정할 필요 없이 적용 가능하다.
• 대수기하학, 다항식 방법, 조합적 인cidences 이론의 도구를 융합하여, 구조화된 점-구 구성에 대응한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 실수 공간 $\mathbb{R}^3$에 있는 일정 차수의 대수적 곡면 위에 있는 $n$개의 점이 결정하는 서로 다른 거리의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 이러한 곡면 위에서 단위 거리의 수는 일반적인 3차원의 $O(n^{3/2})$ 경계를 넘어서 더 날카럽게 유계화될 수 있는가?
• RQ3 점이 곡면 위에 있을 때, 특히 구의 반지름이 임의이거나 열화될 수 있는 경우, 점-구 인cidences 경계는 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 이 인cidences 경계는 더 높은 차원의 대수적 곡면 가중치나 더 일반적인 구성으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 이러한 인cidences 경계는 표면 제약 조건이 없는 3차원에서의 고립된 거리 및 단위 거리 문제에 대해 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 3차원 실수 공간 $\mathbb{R}^3$에 있는 일정 차수의 대수적 곡면 위에 있는 $n$개의 점이 결정하는 서로 다른 거리의 수는 $\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$ 이상이며, 일반적인 3차원 점 집합에 대한 추측된 $\Omega(n^{2/3})$에 비해 크게 향상된 결과이다.
• 이러한 곡면 위에 있는 $n$개의 점이 결정하는 단위 거리의 수는 $O(n^{4/3})$이며, 이는 가장 잘 알려진 평면 상한과 일치하며 3차원에서 최악의 경우에도 날카로운 상한이다.
• 3차원 실수 공간 $\mathbb{R}^3$ 내에서 $m$개의 점과 $n$개의 구에 대해 향상된 인cidences 경계가 확립되었으며, $O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$로 표현되며, $c$는 곡면에 완전히 포함된 원을 뜻한다.
• 모든 원 $c$에 대해 $|P_c|$의 합은 $O(m)$이며, $|S_c|$의 합은 $O(n)$이다. 이는 경계가 효율적이고 구조적으로 유지됨을 보장한다.
• Apfelbaum과 Sharir [5]의 결과에서 요구된 비열화된 구의 가정이 필요 없이 이전 결과를 향상시켰으며, 임의의 반지름에 적용 가능하다.
• Zahl의 결과 [42]를 일반화한 것으로, 주요 항은 그의 경계와 일치하지만, 인cidences 그래프가 고정된 크기의 완전 이분 하위그래프를 피해야 한다는 조건이 필요로 하지 않는다.