[논문 리뷰] Distinguished representations, base change, and reducibility for unitary groups

U. K. Anandavardhanan, C. S. Rajan|ArXiv.org|2004. 08. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $GL_n(E)$의 제곱-integrable 표현에 대해 랭킨-셀버그 및 랭랜스-샤히디 방법으로 정의된 아사이 L함수의 동치성을 확립하며, 이를 통해 유니터리 군 $U(n)$에서 $GL_n(E)$로의 베이스 체인지 사상의 상을 $GL_n(F)$-구별 가능성에 대해 기술한다. 초순순표현의 경우, $GL_3(E)$의 초순순표현이 $GL_3(F)$-구별 가능할 조건은 $U(3)$로부터의 안정적 베이스 체인지임을 증명하고, 구성 성분의 $\omega_{E/F}$-구별 가능성에 의해 $U(n,n)$의 유도 표현의 분해 가능성을 규명한다.

ABSTRACT

We show the equality of the local Asai L-functions defined via the Rankin-Selberg method and the Langlands-Shahidi method for a square integrable representation of GL(n,E). As a consequence we characterise reducibility of certain induced representations of U(n,n), and the image of the base change map from U(n) to GL(n,E) in terms of GL(n,F)-distinguishedness.

연구 동기 및 목표

• 제곱-integrable 표현에 대해 $GL_n(E)$에서 정의된 랭킨-셀버그 및 랭랜스-샤히디 방법에 의한 아사이 L함수의 동치성을 확립한다.
• 유니터리 군 $U(n)$에서 $GL_n(E)$로의 베이스 체인지 사상의 상을 $GL_n(F)$-구별 가능성에 대해 기술한다.
• 유도 표현의 구성 성분에 대한 $GL_n(F)$-구별 가능성에 의해 $U(n,n)$의 포물선적 유도 표현의 분해 가능성을 규명한다.
• 초순순표현의 경우 $n=3$일 때 플릭커-랄리스 추측을 검증한다.
• 프라사드의 추측에 대한 증거를 제시한다. 이 추측은 $GL_n(E)$의 스탠드바르그 표현이 $GL_n(F)$의 특성 $\chi \circ \det$에 대해 구별 가능한지에 관한 것이다.

제안 방법

• 제곱-integrable $\pi$에 대해 $L_1(s, As(\pi))$와 $L_2(s, As(\pi))$의 동치성을 입증하기 위해 전역적 방법을 사용한다. 이는 랭킨-셀버그 및 랭랜스-샤히디 방법으로 정의된 아사이 L함수의 동치성을 의미한다.
• 레비 부분군 $M \cong \prod GL_{n_i}(E)$ 위의 이산 시리즈 표현 $\pi$에 대해, $U(n,n)$의 유도 표현 $I(\pi)$의 분해 가능성을 분석하기 위해 $R$-군 이론을 적용한다.
• 구성 성분 $\pi_i$ 중 $GL_{n_i}(F)$에 대해 $\omega_{E/F}$-구별 가능한 것의 수를 $r$로 두었을 때, $R(\pi) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ 임을 이용한다.
• 유도 표현 $I(\pi)$가 분해 가능할 조건은 $L_2(s, As(\pi))$가 $s=0$에서 극을 가질 때이므로, 아사이 L함수를 통해 구별 가능성과 연결된다.
• 등가성에 의해 $L_1(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$가 $s=0$에서 극을 가질 조건은 $\pi$가 $\omega_{E/F}$-구별 가능할 때임을 이용한다.
• 등식 $L(s, \pi \times \bar{\pi}) = L_2(s, As(\pi)) L_2(s, As(\pi \otimes \widetilde{\omega}))$ 와 $L(s, \pi \times \bar{\pi})$가 $s=0$에서 극을 가질 조건은 $\pi^\vee \cong \bar{\pi}$ 일 때임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱-integrable 표현에 대해 $GL_n(E)$에서 정의된 아사이 L함수의 랭킨-셀버그 정의와 랭랜스-샤히디 정의가 동일한가?
• RQ2 초순순표현 $\pi$에 대해 $GL_3(E)$의 표현이 $GL_3(F)$-구별 가능할 조건은 $U(3)$로부터의 안정적 베이스 체인지인가?
• RQ3 유도 표현의 구성 성분에 대한 $GL_n(F)$-구별 가능성에 의해 $U(n,n)$의 포물선적 유도 표현의 분해 가능성이 어떻게 결정되는가?
• RQ4 스탠드바르그 표현이 $GL_n(E)$에서 $GL_n(F)$의 특성 $\chi \circ \det$에 대해 구별 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ5 $\omega_{E/F}$-구별 가능성은 $U(n,n)$의 $R$-군의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 제곱-integrable 표현에 대해 랭킨-셀버그 및 랭랜스-샤히디 방법으로 정의된 아사이 L함수는 동일하다.
• 초순순표현 $\pi$에 대해 $GL_3(E)$의 표현이 $GL_3(F)$-구별 가능할 조건은 $U(3)$로부터의 안정적 베이스 체인지일 때이다.
• 레비 부분군의 이산 시리즈 표현 $\pi$에 대해 $U(n,n)$의 $R$-군 $R(\pi)$는 $r$개의 $\pi_i$ 가 $GL_{n_i}(F)$에 대해 $\omega_{E/F}$-구별 가능할 때 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ 와 동형이다.
• $U(n,n)$의 유도 표현 $I(\pi)$는 $\pi$가 $GL_n(F)$에 대해 $\omega_{E/F}$-구별 가능할 때에만 분해 가능하다.
• $GL_n(E)$의 스탠드바르그 표현은 $GL_n(F)$에 대해 $\chi \circ \det$에 대해 구별 가능할 조건은 $n$ 이 홀수이고 $\chi$ 가 자명하거나, $n$ 이 짝수이고 $\chi = \omega_{E/F}$ 일 때이다.
• $\pi^\vee \cong \bar{\pi}$ 이고 $L_2(s, As(\pi))$ 가 $s=0$에서 정칙일 조건은 $\pi$ 가 $\omega_{E/F}$-구별 가능할 조건과 동치이다.