[논문 리뷰] Distinguished representations for SL(n)

U. K. Anandavardhanan, Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 04.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 또는 유한체의 이차 확장 $E/F$에서, $ \mathrm{SL}_n(E)$의 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$에 대한 $ \mathrm{SL}_n(F)$-불변 선형 함수들의 공간의 차원에 대한 정확한 공식을 수립한다. 이 차원은 $ \mathrm{SU}_n(F)$에서 $ \mathrm{SL}_n(E)$로의 기본 변경 사상의 섬세한 차수와 일치하며, Prasad의 $G = \mathrm{SL}_n$에 대한 추측을 확인한다. 이 결과는 이전의 $n=2$ 및 홀수 $n$에 대한 결과를 일반화하며, 특징으로서 월리커 모델 조건을 도입한다.

ABSTRACT

For $E/F$ a quadratic extension of local fields, and $π$ an irreducible admissible generic representation of $SL_n(E)$, we calculate the dimension of $Hom_{SL_n(F)}[π,C]$ and relate it to fibers of the base change map corresponding to base change of representations of $SU_n(F)$ to $SL_n(E)$ as suggested in a recent work of the second author. We also deal with finite fields.

연구 동기 및 목표

• 국소 또는 유한체의 이차 확장 $E/F$에서 $ \mathrm{SL}_n(E)$의 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$에 대해 $\dim_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$를 계산하는 것.
• 이 차원이 [Pra16]에서 제안된 $ \mathrm{SU}_n(F)$에서 $ \mathrm{SL}_n(E)$로의 기본 변경 사상의 섬세한 차수와 어떻게 관련되는지 밝히는 것.
• 이전의 $n=2$ 및 홀수 $n$에 대한 구별 결과를 일반적인 경우, 특히 짝수 $n$에 대해 확장하는 것.
• 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$가 $ \mathrm{SL}_n(F)$-구별됨을 $N(E)/N(F)$에서의 월리커 모델 조건을 통해 특성화하는 것.

제안 방법

• 표본 변경 사상 $P\Phi: H^1(W_F', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})[\tau]) \to H^1(W_E', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}))$을 사용하여 $ \mathrm{SU}_n(F)$의 표현과 $ \mathrm{SL}_n(E)$의 표현을 연결한다.
• Matringe의 $ \mathrm{GL}_n(F)$-구별에 관한 $ \mathrm{GL}_n(E)$의 일반 표현 분석 결과를 활용하여 $ \mathrm{SL}_n(F)$-불변 함수를 분석한다.
• $\mathrm{PGL}_n(F)$가 $ \mathrm{SL}_n(E)$의 $L$-패키지 위에 추이적으로 작용함을 바탕으로, $ \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$의 차원이 $ \mathrm{PGL}_n(F)$-동치류 내에서 일정함을 보장한다.
• $\mathrm{SL}_n(E)$-파라미터와 $\mathrm{GL}_n(E)$-파라미터 사이의 특성에 의한 변환과, 기본 변경 사상 $\Phi$를 통한 $ \mathrm{SU}_n(F)$-파라미터와 $ \mathrm{GL}_n(E)$-파라미터의 연결을 이용한다.
• Langlands 파라미터의 강한 및 약한 동치 개념을 사용하여 기본 변경 사상의 섬세한 차수를 계산한다.
• 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$가 $ \mathrm{SL}_n(F)$-구별됨이 되기 위해서는 $N(E)/N(F)$에서 비퇴화된 특성에 대한 월리커 모델을 가져야 하며, 이는 [AM17]의 온도 및 유니터리 표현 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$에 대해 $ \mathrm{SL}_n(E)$에서 $ \mathrm{SL}_n(F)$-불변 선형 함수들의 공간의 정확한 차원은 무엇인가요?
• RQ2 이 차원은 $ \mathrm{SU}_n(F)$에서 $ \mathrm{SL}_n(E)$로의 기본 변경 사상의 섬세한 차수와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$가 비영인 $ \mathrm{SL}_n(F)$-불변 선형 함수를 가질 조건은 무엇인가요?
• RQ4 월리커 모델 조건이 $N(E)/N(F)$에서 비퇴화된 특성에 대해 $\mathrm{SL}_n(F)$-구별을 위해 필수적이고 충분한 조건인가요?

주요 결과

• $\mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$의 차원은 $ \pi$의 Langlands 파라미터 $\rho_\pi$에 대한 기본 변경 사상 $P\Phi$의 섬세한 차수와 같으며, 즉 $\dim_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}] = |P\Phi^{-1}(\rho_\pi)|$이다.
• 무한정형 적합한 일반 표현 $ \pi$가 $ \mathrm{SL}_n(F)$-구별됨이 되기 위한 필요충분조건은 그 Langlands 파라미터 $\rho_\pi$가 기본 변경 사상 $P\Phi$의 상에 속한다는 것이다.
• $\mathrm{SL}_n(F)$-구별성은 $\pi$가 $N$의 유니포텐트 근본부분군의 Borel 부분군에 대한 비퇴화된 특성에 대해 월리커 모델을 갖는 것과 동치이다.
• 짝수 $n$인 경우, 대칭 공간 $({\rm SL}_n(E), {\rm SL}_n(F))$는 Gelfand 쌍이 아니며, 다중도 1을 초과할 수 있다. 이는 홀수 $n$의 경우와 대조된다.
• 이 결과는 $G = \mathrm{SL}_n$에 대해 Prasad의 일반 추측 [Pra16]을 확인하며, 불변 함수의 차원이 기본 변경 사상의 섬세한 차수와 관련됨을 보여준다.
• 이 공식은 $p$-진수 및 유한체 모두에 대해 균일하게 성립하며, 이는 이전 결과들이 $n=2$ 또는 홀수 $n$에 국한되었던 것을 확장한다.