[논문 리뷰] Distinguishing quantum states using Clifford orbits

Richard Kueng, Huangjun Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 클리포드 군 궤도에 기반한 측정을 통해 양자 상태의 구별 가능성(distinguishability)을 조사하며, 스테이블라이저 측정(Stabilizer measurements)이 순수 양자 상태를 구별하는 데 거의 최적임을 보여준다. 주요 기여는 상태의 유효 랭크와 위상공간 국지화에 따라 의존하는 POVM 노름 상수에 대한 정량적 경계를 제시하는 것으로, 스테이블라이저 측정은 순수 상태에 대해 거의 최적의 성능을 달성한다.

ABSTRACT

It is a fundamental property of quantum mechanics that information is lost as a result of performing measurements. Indeed, with every quantum measurement one can associate a number -- its POVM norm constant -- that quantifies how much the distinguishability of quantum states degrades in the worst case as a result of the measurement. This raises the obvious question which measurements preserve the most information in these sense of having the largest norm constant. While a number of near-optimal schemes have been found (e.g. the uniform POVM, or complex projective 4-designs), they all seem to be difficult to implement in practice. Here, we analyze the distinguishability of quantum states under measurements that are orbits of the Clifford group. The Clifford group plays an important role e.g. in quantum error correction, and its elements are considered simple to implement. We find that the POVM norm constants of Clifford orbits depend on the effective rank of the states that should be distinguished, as well as on a quantitative measure of the "degree of localization in phase space" of the vectors in the orbit. The most important Clifford orbit is formed by the set of stabilizer states. Our main result implies that stabilizer measurements are essentially optimal for distinguishing pure quantum states. As an auxiliary result, we use the methods developed here to prove new entropic uncertainty relations for stabilizer measurements. This paper is based on a very recent analysis of the representation theory of tensor powers of the Clifford group.

연구 동기 및 목표

• 측정이 양자 상태의 구별 가능성을 가장 잘 유지하는지, 특히 악조건 상황에서 어떻게 되는지를 규명하는 것.
• 실제로 실행 가능한 것으로 널리 사용되는 양자정보 분야에서의 클리포드 군 궤도로 구성된 측정의 성능을 분석하는 것.
• POVM 노름 상수를 사용하여 클리포드 궤도 POVM이 양자 상태의 구별 가능성을 얼마나 잘 유지하는지 수량화하는 것.
• 스테이블라이저 측정(클리포드 궤도의 특수한 경우)이 순수 양자 상태를 구별하는 데 거의 최적임을 입증하는 것.
• 개발된 프레임워크를 바탕으로 스테이블라이저 측정에 대한 새로운 엔트로피 불확정성 관계를 유도하는 것.

제안 방법

• 측정이 악조건에서 상태의 구별 가능성을 얼마나 잘 유지하는지 수량화하기 위해 POVM 노름 상수를 성능 척도로 사용한다.
• 클리포드 군의 텐서 곱 표현 이론을 적용하여 클리포드 궤도 POVM의 행동을 분석한다.
• 특히 순수 상태에 대해 구별 가능성의 경계를 개선하기 위해 행렬의 '유효 랭크(Effective rank)' 개념을 도입한다.
• 핀스커의 부등식(Pinsker’s inequality)을 활용하여 양자 측정에서 상호정보량에 대한 확실성 관계(엔트로피 하한 경계)를 도출한다.
• 상태 차이의 트레이스 노름과 측정 결과의 ℓ1-노름 사이의 관계를 통해 POVM 노름 상수와 연결된 경계를 유도한다.
• 순수 상태의 등방성 집합(Isotropic ensemble)을 고려하고 준비 과정과 측정 결과 간의 상호정보량을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리포드 궤도 측정은 양자 상태의 구별 가능성을 얼마나 잘 유지하는가, 특히 악조건 상황에서 어떻게 되는가?
• RQ2 양자 상태의 유효 랭크와 클리포드 궤도 POVM의 성능 사이에는 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 클리포드 궤도에 포함된 벡터들의 위상공간 국지화는 POVM 노름 상수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 스테이블라이저 측정은 순수 양자 상태를 구별하는 데 최적이라 할 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ5 클리포드 궤도 POVM 분석을 통해 새로운 엔트로피 불확정성 관계를 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 클리포드 궤도 측정의 POVM 노름 상수는 상태의 유효 랭크와 위상공간 국지화에 따라 달라지며, 스테이블라이저 상태는 거의 최적의 성능을 달성한다.
• 순수 상태에 대해 스테이블라이저 측정의 POVM 노름 상수는 ‖ℳstab(X)‖₁ ≥ (1/2)‖X‖₁를 만족하며, 이는 균일 POVM의 최적 경계와 일치한다.
• 이 경계는 X = ρ − (1/d)𝕀의 유효 랭크 r_eff(X) ≤ 4 min{r, d−r}를 통해 유도되며, 순수 상태에서 경계가 달성된다.
• 새로운 확실성 관계가 확립되었으며, 임의의 등방성 순수 상태 집합에 대해 I(X:ℳC,z) ≥ (1/(128 log 2))((d−1)/d)²이며, 이는 모든 클리포드 POVM에 대해 유효하다.
• 동일한 경계가 측정 결과의 최소 엔트로피(min-entropy)에 대해서도 성립하며, I(X:ℳC,z) ≥ (1/(128 log 2))((d−1)/d)²로 이전 결과를 향상시킨다.
• 분석을 통해 스테이블라이저 측정에 대한 새로운 엔트로피 불확정성 관계를 도출하였으며, 순수 상태에 대해 최소 엔트로피의 하한 경계는 (1/(128 log 2))((d−1)/d)²이다.