[논문 리뷰] Distortion elements in $Diff^\infty(R/Z)$

Artur Avila|ArXiv.org|2008. 08. 18.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 원환면 위의 반복적이고 매끄러운 미분동형사상(반복적으로 항등사상에 수렴하는 것으로 간주됨)이 군 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 내에서의 왜곡 원소임을 증명한다. 즉, 그의 반복적 응용은 유한한 생성자들로 짧은 곱으로 표현될 수 있다. 주요 결과는 프랭크스와 헨델의 질문을 해결하며, 무리수 각도의 회전이 매끄러운 범주에서 왜곡 원소임을 보여주는데, 이는 교환자 구성과 회전 수理론을 활용한다.

ABSTRACT

We consider the group of smooth diffeomorphisms of the circle. We show that any recurrent $f$ (in the sense that $\{f^n\}_{n \in Z}$ is not discrete) is in fact a distortion element (in the sense that its iterates can be written as short compositions involving finitely many smooth diffeomorphisms). Thus rotations are distortion elements.

연구 동기 및 목표

• 프랭크스와 헨델의 열린 질문, 즉 무리수 각도의 회전이 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 내에서 왜곡 원소인지 여부를 해결하는 것.
• 반복성이 $C^\infty$ 위상에서 성립할 경우 군론적 의미에서 왜곡이 성립함을 보이는 것.
• 교환자와 compactly supported 미분동형사상들을 사용하여 항등사상에 매우 가까운 원소들에 대해 짧은 군-단어 표현을 구성하는 것.
• 특히 무리수 회전 수를 가진 원소들에 대해 고정도 미분동형사상 군으로의 왜곡 이론의 확장.
• 다항도 미분동형사상 군에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것(다만 체적 보존 또는 심플렉틱 경우는 제외함).

제안 방법

• 유한 생성 부분군에 대한 거리 함수 $d_S$ 를 도입하여 왜곡을 정의하며, $d_S(f^n, \mathrm{id}) = o(n)$ 이 성립하도록 요구한다.
• 수렴하는 수열 $\epsilon_n \to 0$ 과 $k_n \to \infty$ 를 구성하여, $d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ 을 만족하는 원소 $h_n$ 가 $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$ 를 만족하도록 하는 것.
• 중첩된 간격 위에서 지원되는 미분동형사상들의 교환자 곱으로 항등사상에 가까운 원소들을 실현하며, 고정된 유한 생성자 집합을 사용한다.
• 헤르만-요코즈 이론을 적용하여 회전 수 이론을 활용하며, 특히 디오판틴 회전 수를 가진 경우에 $C^\infty$ 동형사상이 원형으로의 동형사상이 존재함을 이용한다.
• 음의 도함수를 가진 $C^\infty$ 가속 가속도 가중치를 가진 미분동형사상 $\gamma_t$ 를 사용하여 항등사상에 대한 왜곡을 유도하고, 디오판틴 회전 수를 가진 원소들을 생성한다.
• 모든 $t>0$ 에 대해 양의 도함수와 비자명한 회전 수를 가진 1-파라미터 가속도 가중치 미분동형사상 $h_t = [R_{1/2}f_tR_{1/2}, R_{1/2}g_tR_{1/2}][f_t,g_t]$ 를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무리수 각도의 회전은 $\mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 내에서 왜곡 원소가 될 수 있는가?
• RQ2 모든 반복적 $C^\infty$ 원환면 미분동형사상은 왜곡 원소인가?
• RQ3 항등사상에 임의로 가까운 원소들은 유한 생성 부분군 내에서 짧은 교환자 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 무리수 회전 수를 가진 매끄러운 원환면 미분동형사상의 왜곡 함수의 성장률은 어떻게 되는가?
• RQ5 교환자 분해 방법은 다항도 다양체로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 반복적 $f \in \mathrm{Diff}^\infty(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 는 왜곡 원소이며, 이는 프랭크스와 헨델의 질문을 매끄러운 범주에서 긍정적으로 해결한다.
• 항등사상에 수렴하는 수열 $\epsilon_n \to 0$ 과 $k_n \to \infty$ 가 존재하여, 모든 $h_n$ 에 대해 $d(h_n, \mathrm{id}) < \epsilon_n$ 이면 어떤 유한 생성 부분군 $G$ 와 생성자 집합 $S$ 에 대해 $d_S(h_n, \mathrm{id}) \leq k_n$ 이 성립한다.
• 반복 원소들의 가산 집합은 유한 생성 부분군 내에서 동시에 왜곡 원소로 표현될 수 있다.
• 이 구성은 임의의 함수 $r: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 에 대해, 각 반복 원소를 $r$-임의로 왜곡 가능하게 보장한다. 즉, $m \geq r(n)$ 이고 무한히 많은 $n$ 에 대해 $d_S(f_i^m, \mathrm{id}) \leq n$ 이다.
• 이 방법은 헤르만-요코즈 이론에 따라 디오판틴 회전 수를 가진 경우에 $C^\infty$ 동형사상이 존재함을 이용하며, 교환자 분해에 기반한다.
• 이 방법은 실해석적 미분동형사상에는 적용되지 않으며, 더 강한 대수적 고정성 때문에 그 범주에서는 여전히 열린 문제이다.