[논문 리뷰] Distortion maps for genus two curves

Steven D. Galbraith⋆, Jordi Pujolàs외 2명|ArXiv.org|2006. 11. 15.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 18인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 초등급 2차 아 hyperelliptic 곡선에 대해 왜곡 맵이 항상 존재함을 증명하고, 프로베니우스와 자동형사상에서 유도된 엔도모르피즘을 사용하여 명시적인 구성법을 제공한다. 임bedding 차수 4, 5, 6, 12를 갖는 이러한 곡선에 대해, 유한한 엔도모르피즘 집합(프로베니우스와 자동형사상 포함)이 임의의 r- torsion 나열에 대해 왜곡 맵을 생성하는 데 충분하며, 이는 효율적인 페어링 기반 암호화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Distortion maps are a useful tool for pairing based cryptography. Compared with elliptic curves, the case of hyperelliptic curves of genus g > 1 is more complicated since the full torsion subgroup has rank 2g. In this paper we prove that distortion maps always exist for supersingular curves of genus g>1 and we construct distortion maps in genus 2 (for embedding degrees 4,5,6 and 12).

연구 동기 및 목표

• 페어링 기반 암호화에 필수적인 초등급 2차 아 hyperelliptic 곡선에 대해 왜곡 맵의 존재성을 확립하는 것.
• 이러한 곡선의 임의의 r- torsion 나열 클래스 쌍에 대해 작용하는 명시적이고 효율적으로 계산 가능한 엔도모르피즘을 구성하는 것.
• 합리적인 가정 하에, 프로베니우스와 자동형사상 포함 유한한 엔도모르피즘 집합이 모든 쌍에 대해 충분한 왜곡 맵을 생성함을 증명하는 것.
• 초등급 2차 곡선의 왜곡 맵 문제를 해결하여 페어링 기반 암호 체계의 적용 범위를 고차수 곡선으로 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 유한체 위의 2차 곡선의 아벨 다양체의 엔도모르피즘 대수를 분석하며, 소규모 임베딩 차수를 갖는 초등급 곡선에 집중한다.
• 프로베니우스 사상 π와 자동형사상 στ, σθ, σξ를 사용하여 엔도모르피즘의 기저를 구성하며, 이들이 ℚ-벡터 공간으로서 16차원이며 End⁰(Jac(C))와 동형임을 보인다.
• π, στ, σθ, σξ 간의 군론적 및 대수적 관계를 이용하여, F ⊕ στF ⊕ σξF ⊕ σθF의 합이 직접 합임을 증명함으로써 엔도모르피즘 대수의 전체 차원을 확인한다.
• 임의의 r- torsion 나열 쌍이 이 엔도모르피즘들의 ℚ-선형 조합을 통해 왜곡 맵을 갖는다는 것을 보이며, 분모의 최소공배수가 r과 서로소라는 가정 하에 맵을 정수 엔도모르피즘 ℤ[π, στ, σθ]로 스케일링할 수 있음을 보인다.
• 임베딩 차수 4, 5, 6, 12를 갖는 명시적 예제를 통해 구성법을 검증하였으며, 엔도모르피즘이 전체 엔도모르피즘 대수를 생성하고 필요한 비퇴도 조건을 만족함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초등급 2차 아 hyperelliptic 곡선의 모든 r- torsion 나열 클래스 쌍에 대해 왜곡 맵이 존재하는가?
• RQ2 유한하고 효율적으로 계산 가능한 엔도모르피즘 집합이 이러한 모든 쌍에 대해 왜곡 맵으로서 기능할 수 있는가?
• RQ3 소규모 임베딩 차수를 갖는 초등급 2차 곡선에 대해 엔도모르피즘 대수 End⁰(Jac(C))의 구조는 어떠한가?
• RQ4 엔도모르피즘의 ℚ-선형 조합이 어떤 조건에서 정수 엔도모르피즘으로 스케일링되어 유효한 왜곡 맵으로 작용할 수 있는가?

주요 결과

• 초등급 2차 곡선에 대해 왜곡 맵이 항상 존재함을 입증하여, 고차수 곡선에 대한 페어링 기반 암호화의 핵심 과제를 해결한다.
• 연구된 곡선의 엔도모르피즘 대수 End⁰(Jac(C))는 ℚ 위에서 16차원이며, 프로베니우스 사상 π와 자동형사상 στ, σθ, σξ에 의해 생성된다.
• {π, στ, σθ}의 집합은 곡선 상의 임의의 r- torsion 나열 쌍에 대해 왜곡 맵으로서 충분한 엔도모르피즘을 생성한다.
• 임베딩 차수 4, 5, 6, 12를 갖는 곡선에 대해, 이러한 엔도모르피즘을 사용하여 명시적인 왜곡 맵 구성법을 제공한다.
• 분모의 최소공배수가 r과 서로소라는 가정 하에 구성법이 유효하며, 고려된 예제들에서 이 조건이 성립함을 보였다.