[논문 리뷰] Distributed Algorithms for Consensus and Coordination in the Presence of Packet-Dropping Communication Links - Part I: Statistical Moments Analysis Approach

Alejandro D. Domínguez-García, Christoforos N. Hadjicostis외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 29.

Distributed Control Multi-Agent Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 신뢰할 수 없고 패킷을 유실하는 통신 링크를 가진 다중 에이전트 시스템에서 평균 일치에 대한 강건한 분산 알고리즘을 제안한다. 보조 변수를 도입하고 일차 및 이차 통계적 모멘트를 분석함으로써, 비대칭적이고 시간에 따라 변하는, 그리고 신뢰할 수 없는 통신 환경에서도 거의 확실하게 평균 일치에 수렴하도록 보장한다. 수렴는 보렐-칸텔레 보조정리와 모멘트 분석을 통해 증명된다.

ABSTRACT

This two-part paper discusses robustification methodologies for linear-iterative distributed algorithms for consensus and coordination problems in multicomponent systems, in which unreliable communication links may drop packets. We consider a setup where communication links between components can be asymmetric (i.e., component j might be able to send information to component i, but not necessarily vice-versa), so that the information exchange between components in the system is in general described by a directed graph that is assumed to be strongly connected. In the absence of communication link failures, each component i maintains two auxiliary variables and updates each of their values to be a linear combination of their corresponding previous values and the corresponding previous values of neighboring components (i.e., components that send information to node i). By appropriately initializing these two (decoupled) iterations, the system components can asymptotically calculate variables of interest in a distributed fashion; in particular, the average of the initial conditions can be calculated as a function that involves the ratio of these two auxiliary variables. The focus of this paper to robustify this double-iteration algorithm against communication link failures. We achieve this by modifying the double-iteration algorithm (by introducing some additional auxiliary variables) and prove that the modified double-iteration converges almost surely to average consensus. In the first part of the paper, we study the first and second moments of the two iterations, and use them to establish convergence, and illustrate the performance of the algorithm with several numerical examples. In the second part, in order to establish the convergence of the algorithm, we use coefficients of ergodicity commonly used in analyzing inhomogeneous Markov chains.

연구 동기 및 목표

• 통신 링크가 예측할 수 없이 패킷을 유실할 수 있는 다중 에이전트 시스템에서 평균 일치를 달성하는 데 도전하는 것.
• 신뢰할 수 없고 비대칭적이며 시간에 따라 변하는 통신 링크에서도 초기 값의 평균에 수렴하는 분산 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존의 일치 알고리즘이 링크 장애로 인해 실패할 수 있는 방향성 있고 강하게 연결된 네트워크에서의 강건성 확보.
• 보렐-칸텔레 보조정리와 같은 확률적 도구를 사용하여 통계적 모멘트 분석을 통해 수렴 보장을 이룩하는 것.
• 제2부에서 비균질 마코프 체인의 에르고딕성 계수를 사용하여 수렴을 추가로 검증하기 위한 기반 마련.

제안 방법

• 각 노드당 두 개의 보조 변수를 가지는 이중 반복 알고리즘을 도입하며, 각 변수는 자신의 이전 값과 이웃의 이전 값의 가중 선형 조합으로 갱신된다.
• 표준 일치 알고리즘에 보조 변수를 추가하여 패킷 유실 상황을 처리함으로써, 두 보조 변수의 비율이 초기 값의 평균으로 수렴하도록 조정한다.
• 패킷 유실 상황에서 수렴 성질을 확립하기 위해 보조 변수의 일차 및 이차 통계적 모멘트를 분석한다.
• 보렐-칸텔레 보조정리를 사용하여, 각 노드에 대해 두 번째 보조 변수 $ z_j[k] $ 가 양의 임계값 $ C $ 를 초과하는 사건이 거의 확실하게 무한히 많이 발생함을 증명한다.
• 비율 $ y_j[k]/z_j[k] $ 가 거의 확실하게 $ 1/ar{ u} $ 로 수렴함을 확립하며, 여기서 $ ar{ u} $ 는 초기 값의 평균이다.
• 노드의 진입 차수와 최대 출력 차수를 기반으로 한 확률적 추론을 활용하여 네트워크 전반의 질량 이동 확률을 근사함으로써, 시스템 내 지속적인 활동을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통신 링크가 확률적이고 비대칭적으로 패킷을 유실할 경우, 분산 일치 알고리즘이 초기 값의 평균으로 수렴하는가?
• RQ2 신뢰할 수 없는 통신 환경에서 거의 확실한 수렴을 증명하기 위해 통계적 모멘트 분석을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 이중 반복 알고리즘의 보조 변수가 무한히 많이 0에서 멀리 떨어져 있도록 보장하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ4 보렐-칸텔레 보조정리를 사용하여 패킷 유실 상황에서 보조 변수의 핵심 임계값이 무한히 많이 초과됨을 증명할 수 있는가?
• RQ5 기저가 되는 방향 그래프의 구조(강하게 연결되고 출력 차수가 유계임)가 강건화된 알고리즘의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수정된 이중 반복 알고리즘은 강하게 연결된 방향 그래프를 전제로 할 때, 통신 링크가 패킷을 유실하더라도 거의 확실하게 평균 일치로 수렴함을 보장한다.
• 모든 노드 $ j $ 에 대해, $ z_j[k] o C $ 인 사건이 거의 확실하게 무한히 많이 발생하며, 여기서 $ C = rac{n}{(n+m)( ext{D}_{ ext{max}}^{+})^{n-1}} $ 이다. 이는 비율 $ y_j[k]/z_j[k] $ 가 무한히 많이 계산될 수 있음을 보장한다.
• 비율 $ y_j[t_n]/z_j[t_n] $ 는 $ t_n o ty $ 일 때 거의 확실하게 $ 1/ar{ u} $ 로 수렴하며, 이는 원하는 일치 값으로의 수렴을 증명한다.
• 분석 결과 $ |ar{ u} y_j[k] - z_j[k]| o 0 $ 이 거의 확실하게 성립함을 보이며, 이는 비율 추정의 오차가 시간이 지남에 따라 사라짐을 의미한다.
• 어느 노드에서 다른 노드로의 질량 이행 성공 확률은 $ n $ 단계 이내에 $ q^n $ 이하로 하한이 둔다. 여기서 $ q $ 는 최소 진입 차수와 네트워크 구조에 따라 결정된다.
• 수렴 결과는 일반적인 조건 하에서도 성립한다: 방향성이고 강하게 연결된 그래프이며, 출력 차수가 유계이며, 링크에서 i.i.d. 패킷 유실이 발생하는 경우.