[논문 리뷰] Distributed Approximation Algorithms for Weighted Shortest Paths

Danupon Nanongkai|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 20.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 38인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 CONGEST 모델 하에서 가중 무방향 네트워크에서 단일 소스 최단 경로(SSSP)를 근사화하는 분산 알고리즘을 제안하며, Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 시간 내에 (1+o(1))-근사치를 달성한다. 이는 하향적 시간 복잡도를 갖는 근사 알고리즘으로, 경로 길이 제한이 있는 SSSP에 대한 경량화된 도구와 단순화된 경로 기반 직경 감소 기법을 도입하여, 근사 정확도가 거의 최적인 하향 시간 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A distributed network is modeled by a graph having $n$ nodes (processors) and diameter $D$. We study the time complexity of approximating {\em weighted} (undirected) shortest paths on distributed networks with a $O(\log n)$ {\em bandwidth restriction} on edges (the standard synchronous \congest model). The question whether approximation algorithms help speed up the shortest paths (more precisely distance computation) was raised since at least 2004 by Elkin (SIGACT News 2004). The unweighted case of this problem is well-understood while its weighted counterpart is fundamental problem in the area of distributed approximation algorithms and remains widely open. We present new algorithms for computing both single-source shortest paths (\sssp) and all-pairs shortest paths (\apsp) in the weighted case. Our main result is an algorithm for \sssp. Previous results are the classic $O(n)$-time Bellman-Ford algorithm and an $ ilde O(n^{1/2+1/2k}+D)$-time $(8k\lceil \log (k+1) ceil -1)$-approximation algorithm, for any integer $k\geq 1$, which follows from the result of Lenzen and Patt-Shamir (STOC 2013). (Note that Lenzen and Patt-Shamir in fact solve a harder problem, and we use $ ilde O(\cdot)$ to hide the $O(\poly\log n)$ term.) We present an $ ilde O(n^{1/2}D^{1/4}+D)$-time $(1+o(1))$-approximation algorithm for \sssp. This algorithm is {\em sublinear-time} as long as $D$ is sublinear, thus yielding a sublinear-time algorithm with almost optimal solution. When $D$ is small, our running time matches the lower bound of $ ilde Ω(n^{1/2}+D)$ by Das Sarma et al. (SICOMP 2012), which holds even when $D=Θ(\log n)$, up to a $\poly\log n$ factor.

연구 동기 및 목표

• 분산 가중 네트워크에서 근사화가 최단 경로 계산을 가속화할 수 있는지에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• O(log n) 대역폭을 갖는 CONGEST 모델에서 (1+o(1))-근사치를 갖는 SSSP에 대해 하향 시간 알고리즘을 설계한다.
• 이전의 Õ(n¹ᐟ²⁺¹ᐟ²ᵏ + D)-시간 알고리즘을 개선하여, 네트워크 직경 D에 따라 거의 최적의 실행 시간을 달성한다.
• 모든 쌍 최단 경로(APSP)로 결과를 확장하여, Õ(n)-시간 (1+o(1))-근사치 알고리즘을 제공한다.
• APSP 근사화에 대해 하한선을 증명하여, 분산 복잡도 이론에서 핵심적인 격차를 해결한다.

제안 방법

• 경로 길이 제한이 있는 단일 소스 최단 경로에 대해 경량 알고리즘을 도입하여, 최소한의 통신으로 효율적인 국소 계산을 가능하게 한다.
• 단순화 기반 기법을 사용해 경로 기반 직경을 감소시켜 오버레이 네트워크의 효과적 직경을 압축한다.
• 근사 거리를 유지하면서도, 오버레이 네트워크의 최단 경로 직경을 감소시킨다.
• 재귀적 분할과 계층적 집계를 활용해 Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D) 시간 내에 근사 거리를 계산한다.
• 단순화 기반 직경 감소 기법을 활용해 네트워크 전반에서 거리 추정치의 수렴 속도를 빠르게 한다.
• 동일한 기법을 완전 연결 네트워크에 적용하여, Õ(√n)-시간 정확한 SSSP와 (2+o(1))-근사치 APSP를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근사화가 분산 가중 네트워크에서 최단 경로 계산의 시간 복잡도를 크게 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 CONGEST 모델에서 SSSP에 대해 근사 비율과 실행 시간 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 단순화 기반 기법을 사용해 최단 경로 직경을 효율적으로 감소시켜 더 빠른 분산 계산을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 완전 연결 네트워크에서 하향 시간 정확한 SSSP를 달성할 수 있는가?
• RQ5 분산 환경에서 APSP 근사화에 대해 타당한 하한선은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 (1+o(1))-근사치 SSSP에 대해 Õ(n¹ᐟ²D¹ᐟ⁴ + D)-시간 알고리즘을 제시하며, D가 하향일 경우 이는 하향 시간이다.
• 알려진 하한선 Õ(n¹ᐟ² + D)와 다항로그 인자 수준에서 일치하여, 거의 타당한 복잡도임을 입증한다.
• APSP에 대해 Õ(n)-시간 (1+o(1))-근사치 알고리즘을 확보하여, 이전의 O(1)-근사치 결과를 향상시킨다.
• APSP 근사화에 대해 일치하는 하한선을 증명하여, 알고리즘이 다항로그 인자 수준에서 최적임을 보여준다.
• 완전 연결 네트워크에서는 Õ(√n)-시간 정확한 SSSP 알고리즘을 달성하였고, (2+o(1))-근사치 APSP 알고리즘도 제공한다.
• 제안된 도구인 경량 경로 길이 제한 SSSP와 단순화 기반 직경 감소 기법은 최단 경로를 넘어서 광범위한 응용에 기여할 수 있다.