[논문 리뷰] Distributed Computation of Sparse Cuts

Atish Das Sarma, Anisur Rahaman Molla외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 21.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무작위 보행과 PageRank를 사용하여 무방향 네트워크에서 희소 컷을 빠르게 분산으로 계산하는 두 가지 알고리즘을 제안하며, Õ(√φ)의 근사 비율로 컨덕턴스를 근사한다. 이 알고리즘들은 최적의 컨덕턴스 φ에 대한 사전 지식 없이 작동하며, 잘 연결된 국소 클러스터와 핵심 병목 경로를 식별할 수 있다.

ABSTRACT

Finding sparse cuts is an important tool in analyzing large-scale distributed networks such as the Internet and Peer-to-Peer networks, as well as large-scale graphs such as the web graph, online social communities, and VLSI circuits. In distributed communication networks, they are useful for topology maintenance and for designing better search and routing algorithms. In this paper, we focus on developing fast distributed algorithms for computing sparse cuts in networks. Given an undirected $n$-node network $G$ with conductance $ϕ$, the goal is to find a cut set whose conductance is close to $ϕ$. We present two distributed algorithms that find a cut set with sparsity $ ilde O(\sqrtϕ)$ ($ ilde{O}$ hides $\polylog{n}$ factors). Both our algorithms work in the CONGEST distributed computing model and output a cut of conductance at most $ ilde O(\sqrtϕ)$ with high probability, in $ ilde O(\frac{1}{b}(\frac{1}ϕ + n))$ rounds, where $b$ is balance of the cut of given conductance. In particular, to find a sparse cut of constant balance, our algorithms take $ ilde O(\frac{1}ϕ + n)$ rounds. Our algorithms can also be used to output a {\em local} cluster, i.e., a subset of vertices near a given source node, and whose conductance is within a quadratic factor of the best possible cluster around the specified node. Both our distributed algorithm can work without knowledge of the optimal $ϕ$ value and hence can be used to find approximate conductance values both globally and with respect to a given source node. We also give a lower bound on the time needed for any distributed algorithm to compute any non-trivial sparse cut --- any distributed approximation algorithm (for any non-trivial approximation ratio) for computing sparsest cut will take $ ilde Ω(\sqrt{n} + D)$ rounds, where $D$ is the diameter of the graph.

연구 동기 및 목표

• 최적의 컨덕턴스에 대한 사전 지식 없이 대규모 네트워크에서 희소 컷을 효율적으로 분산으로 계산하는 알고리즘을 개발한다.
• 라우팅과 토폴로지 유지보수를 향상시키기 위해 분산 네트워크에서 잘 연결된 국소 클러스터와 핵심 병목 경로를 식별할 수 있도록 한다.
• 작은 메시지 크기를 갖는 CONGEST 모델 하에서 희소 컷 계산에 대한 증명 가능 근사 보장을 제공한다.
• 모든 분산 희소 컷 근사 알고리즘에 대해 시간 복잡도의 하한을 설정한다.
• 확장 가능하고 정확한 희소 컷 탐지 기반으로 네트워크 설계, 클러스터링, 혼잡 제어 응용을 지원한다.

제안 방법

• 노드 방문 확률 분포를 추정하기 위해 무작위 보행을 사용하여 분산적으로 컨덕턴스를 근사한다.
• 컨덕턴스가 낮은 국소 클러스터를 주어진 소스 노드 주변에서 PageRank 기반 기법을 적용하여 계산함으로써 고내부 연결성을 보장한다.
• 이중 단계 알고리즘을 설계한다: 첫 번째 단계에서는 여러 소스 노드에서 무작위 보행을 수행하여 컷 희소성의 근사를 얻고, 두 번째 단계에서는 컨덕턴스 기반으로 분할을 계산하고 평가한다.
• 각 노드가 라운드당 O(1)개의 메시지만 전송할 수 있는 CONGEST 모델을 활용하여 통신 효율성을 확보한다.
• 스패닝 연결 부분그래프 검증 문제로의 환원을 통해 희소 컷 계산의 시간 복잡도 하한을 유도한다.
• 정확도를 향상시키기 위해 무작위 보행 절차를 O(log n)번 반복함으로써 높은 확률로 정확한 결과를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드당 다항로그 시간 내에 최적값에 대해 Õ(√φ) 이내의 컨덕턴스 근사치를 갖는 분산 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 최적의 φ를 알지 못하더라도 주어진 소스 노드 주변에서 최적의 클러스터에 가까운 컨덕턴스를 갖는 국소 클러스터를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 네트워크에서 비트리비얼한 희소 컷을 계산하기 위해 어떤 분산 알고리즘도 필요한 최소 시간 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 좋은 근사 보장을 확보하면서도 최적의 컨덕턴스 φ에 대한 사전 지식에 의존하지 않을 수 있는가?
• RQ5 무작위 보행과 PageRank를 얼마나 잘 조합하여 분산 희소 컷 계산의 효율성을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 φ가 네트워크의 컨덕턴스일 때, Õ(1/φ + n)라운드 내에서 높은 확률로 컨덕턴스가 최대 Õ(√φ) 이내인 컷을 계산한다.
• 균형이 일정한 컷에 대해서는 실행 시간이 Õ(1/φ + n)라운드이며, 이는 다항로그 인자 외에는 하한과 일치한다.
• φ에 대한 사전 지식 없이도, 최적의 클러스터에 비해 제곱 인자 범위 내에서 컨덕턴스가 근사된 국소 클러스터를 계산할 수 있다.
• 모든 분산 근사 알고리즘에 대해 희소 컷에 대해 Õ(√n + D)라운드의 하한이 확립되었으며, 여기서 D는 그래프의 지름이다.
• 알고리즘은 소규모 메시지만 사용하여 통신 효율적이며, 표준 CONGEST 모델에서 적용 가능하다.
• 결과는 핵심 경로와 잘 연결된 구성 요소를 식별하는 데 사용될 수 있으며, 토폴로지 인식 네트워크 설계와 유지보수를 지원한다.