[논문 리뷰] Distributed Grover's algorithm

Daowen Qiu, Le Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 22.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부울 함수를 $2^k$개의 부분함수로 분해하여 $n-k$개의 입력 비트를 가진 작은 병렬 부분문제로 검색을 분산시키는 분산 그로버 알고리즘을 제안한다. 이로 인해 쿼리 복잡도가 감소한다. $a=1$일 때, $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$번의 쿼리로 수행되며, 표준 그로버 알고리즘의 $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$보다 훨씬 적다. 이는 높은 성공 확률을 유지하면서도, $O(m\log m)$ 게이트 복잡도로 CNF 공식에 대해 효율적인 오라클 구축이 가능하다.

ABSTRACT

Let Boolean function $f:\{0,1\}^n\longrightarrow \{0,1\}$ where $|\{x\in\{0,1\}^n| f(x)=1\}|=a\geq 1$. To search for an $x\in\{0,1\}^n$ with $f(x)=1$, by Grover's algorithm we can get the objective with query times $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^n}{a}} floor$. In this paper, we propose a distributed Grover's algorithm for computing $f$ with lower query times and smaller number of input bits. More exactly, for any $k$ with $n>k\geq 1$, we can decompose $f$ into $2^k$ subfunctions, each which has $n-k$ input bits, and then the objective can be found out by computing these subfunctions with query times at most $\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor \fracπ{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}} floor+\lceil\sqrt{2^{n-k}} ceil+2t_a+1$ for some $1\leq b_i\leq a$ and $r_i\leq 2t_a+1$, where $t_a=\lceil 2π\sqrt{a}+11 ceil$. In particular, if $a=1$, then our distributed Grover's algorithm only needs $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n-k}} floor$ queries, versus $\lfloor \fracπ{4}\sqrt{2^{n}} floor$ queries of Grover's algorithm. %When $n$ qubits belong to middle scale but still are a bit difficult to be processed in practice, $n-k$ qubits are likely feasible for appropriate $k$ in physical realizability. Finally, we propose an efficient algorithm of constructing quantum circuits for realizing the oracle corresponding to any Boolean function with conjunctive normal form (CNF).

연구 동기 및 목표

• NISQ 시대의 양자 계산에서 그로버 알고리즘의 쿼리 복잡도와 회로 깊이를 줄이기 위해 검색을 더 작은 부분함수로 분산시키는 것.
• 입력 큐비트 수와 회로 깊이를 최소화하여 대규모 양자 알고리즘의 물리적 실현 가능성을 높이는 것.
• 연결 정규형(CNF) 형태의 부울 함수 오라클에 대한 효율적인 양자 회로 설계 방법을 개발하는 것.
• 오라클 간 얽힘을 피하면서도 부분함수 검색을 병렬 실행함으로써 확장성을 향상시키는 것.
• 이on 트랩 시스템과 같은 근접 양자 하드웨어에서 분산 그로버 알고리즘을 구현할 수 있는 실용적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 부울 함수 $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$를 $2^k$개의 부분함수 $f_i(x) = f(xy_i)$로 분해하며, 각 부분함수는 $n-k$개의 입력 큐비트를 가진다. 여기서 $y_i$는 인덱스 $i$의 이진 표현이다.
• 각 부분함수에 대해 독립적으로 그로버 알고리즘을 적용하며, 각 부분함수당 $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}/b_i}\rfloor$번의 쿼리를 사용한다. 여기서 $b_i$는 부분함수 $f_i$ 내의 해의 수이다.
• 모든 부분함수 오라클이 서로 독립적으로 작동하는 병렬 실행 전략을 적용하여 얽힘을 방지하고 통신 오버헤드를 감소시킨다.
• 3CNF에 대해 $m$개의 절이 있을 때, $O(m\log m)$의 기본 게이트와 $O(\log m)$의 보조 큐비트를 사용하여 단계별 단계별 오라클 구축 알고리즘(알고리즘 6)을 도입하여 단계별 부호 반전 오라클 $Z_f|x\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle$를 실현한다.
• 제어 덧셈 및 제어 뺄셈 연산을 사용하여 오라클 구성 요소를 실현하며, 이는 $O(\lceil\log(m+1)\rceil)$개의 게이트와 보조 큐비트를 필요로 한다.
• 부분함수 쿼리 결과를 최종 검증 단계와 조합하여 $\lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$개의 추가 쿼리를 사용한다. 여기서 $t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로버 검색을 부분함수로 분산시켜 총 쿼리 수와 회로 깊이를 줄일 수 있는가?
• RQ2 해의 수 $a$가 작을 때, 분산 방법의 쿼리 복잡도가 표준 그로버 알고리즘과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 쿼리 오버헤드를 최소화하기 위해 부울 함수를 부분함수로 어떻게 분해하는 것이 최적인가?
• RQ4 CNF 형태의 부울 함수에 대해 효율적인 양자 회로 설계를 통해 오라클 구현 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ5 부분함수 검색을 병렬로 실행할 경우와 순차적으로 실행할 경우 성공 확률과 총 쿼리 수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $a=1$일 때, 분산 그로버 알고리즘은 단지 $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^{n-k}}\rfloor$번의 쿼리로 수행되며, 이는 큰 $n$에 대해 표준 그로버 알고리즘의 $\lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}\rfloor$보다 지수적으로 줄어든다.
• 병렬 방법의 최악의 경우 쿼리 복잡도는 $\sum_{i=1}^{r_i} \lfloor\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^{n-k}}{b_i}}\rfloor + \lceil\sqrt{2^{n-k}}\rceil + 2t_a + 1$로 유계이며, $r_i \leq 2t_a + 1$이고 $t_a = \lceil 2\pi\sqrt{a} + 11 \rceil$이다.
• 절이 $m$개인 3CNF 부울 함수의 오라클은 $O(m\log m)$ 시간 내에 $O(\log m)$의 보조 큐비트를 사용하여 구성 가능하여 효율적인 구현이 가능하다.
• 모든 부분함수 오라클을 병렬로 실현하는 데 드는 시간 복잡도는 $O(\max_{i} m_i \log m_i)$이며, 여기서 $m_i$는 부분함수 $f_i$의 절 수이다.
• 분산 알고리즘의 성공 확률은 표준 그로버 알고리즘과 거의 동일하며, 부분함수 간에 높은 정밀도를 유지한다.
• 입력 큐비트 수와 회로 깊이를 줄여 물리적으로 실현 가능한 확장 가능한 양자 검색을 가능하게 하여, 이온 트랩 시스템과 같은 근접 양자 장치에 적합하다.