[논문 리뷰] Distributed shape derivative via averaged adjoint method and applications

Antoine Laurain, Kevin Sturm|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 06.

Numerical methods in engineering참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 분포형 형태 미분을 계산하기 위한 새로운 평균화된 양함수 방법을 제안하며, 기존의 경계 기반 형태 미분에 비해 더 일반적이고 수치적으로 안정적인 대안을 제공한다. 이 방법은 형태 최적화 및 전기 임피던스.tomography(EIT)에서 효과적으로 작용하여, 노이즈가 있는 조건에서도 정확한 재구성과 빠른 수렴(약 340회 반복)을 달성한다.

ABSTRACT

The structure theorem of Hadamard-Zolésio states that the derivative of a shape functional is a distribution on the boundary of the domain depending only on the normal perturbations of a smooth enough boundary. Actually the domain representation, also known as distributed shape derivative, is more general than the boundary expression as it is well-defined for shapes having a lower regularity. It is customary in the shape optimization literature to assume regularity of the domains and use the boundary expression of the shape derivative for numerical algorithms. In this paper we describe several advantages of the distributed shape derivative in terms of generality, easiness of computation and numerical implementation. We identify a tensor representation of the distributed shape derivative, study its properties and show how it allows to recover the boundary expression directly. We use a novel Lagrangian approach, which is applicable to a large class of shape optimization problems, to compute the distributed shape derivative. We also apply the technique to retrieve the distributed shape derivative for electrical impedance tomography. Finally we explain how to adapt the level set method to the distributed shape derivative framework and present numerical results.

연구 동기 및 목표

• 저규칙성 도메인 및 비연속 데이터 설정에서 경계 기반 형태 미분의 한계를 해결한다.
• 경계 적분 대신 도메인 적분을 사용하여 형태 미분의 더 일반적이고 수치적으로 안정적인 표현을 제공한다.
• 전체 도메인에서 정의된 형태 기울기를 제공함으로써 레벨 세트 방법과 원활하게 통합할 수 있도록 한다.
• 전기 임피던스.tomography(EIT)의 심각하게 불안정한 역문제를 해결하는 데에 이 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 경계 및 도메인 표현을 통합하는 분포형 형태 미분의 텐서 표현을 개발한다.
• 분포형 형태 미분을 효율적으로 계산하기 위해 새로운 라그랑주 기반 평균화된 양함수 방법을 도입한다.
• 선형 라그랑주 원소를 사용한 유한요소 방법을 적용하여 형태 기울기를 이산화하고 내림방향 PDE를 해결한다.
• 기울기 기반 최적화 알고리즘에서 스텝 크기를 제어하기 위해 아르미조 선 탐색을 적용한다.
• 레벨 세트 방법을 분포형 형태 미분에 직접 적용하여 재메시 없이 도메인 수준의 갱신을 가능하게 한다.
• EIT에서 다양한 노이즈 수준을 가진 포함체를 재구성하기 위해 다중 유량 측정을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 프레임워크를 사용하여 분포형 형태 미분을 효율적이고 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ2 수치적 안정성과 정확도 측면에서 분포형 형태 미분은 경계 표현에 비해 어떻게 다른가?
• RQ3 평균화된 양함수 방법은 광범위한 형태 최적화 문제에 일반화될 수 있는가?
• RQ4 분포형 형태 미분은 전기 임피던스.tomography의 역문제를 해결하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ5 EIT에서 노이즈 측정 조건 하에서 이 방법의 수렴 행동과 강건성은 어떠한가?

주요 결과

• 분포형 형태 미분은 비연속적이거나 저규칙성 도메인에서 경계 표현보다 더 일반적이고 강건한 표현을 제공한다.
• 격자 상에서 직접 기울기를 계산함으로써 인터페이스에서의 보간 오차를 방지하여 전송 문제에서 수치 정확도를 향상시킨다.
• EIT에서 두 타원의 재구성은 평균 340회 반복과 3회의 측정으로 7% 노이즈 조건에서도 높은 정확도를 달성했다.
• 7회의 측정과 1.55% 노이즈 조건에서 세 개의 포함체 재구성은 371회 반복 내에 근사적인 재구성을 제공했다.
• 기존 레벨 세트 방법 대비 수렴 속도가 더 빠르며, 이전 연구에서 2000~50000회 반복이 필요한 데 비해 약 300회 반복 내에 수렴했다.
• 이 방법은 노이즈에 강건하며, EIT 문제의 불안정성에도 불구하고 양호한 재구성 품질을 유지한다.