[논문 리뷰] Distributed Treewidth Computation and Courcelle's Theorem in the CONGEST Model

Jauregui, Benjamin, Li, Jason외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 27.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 CONGEST 모델에서 폭이 유계인 그래프의 단항 이阶논리(MSO) 성질을 Õ(D) 라운드 내에 결정하는 분산 알고리즘을 제시한다. 여기서 D는 네트워크 지름이다. 이는 먼저 폭 O(k)인 저교란성 트리 분해를 Õ(k^O(k)D) 라운드 내에 계산함으로써 달성되며, 이는 저교란성 숏컷과 정점 분리자 계산을 통해 분해 위에서 효율적인 동적 프로그래밍을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Algorithmic meta-theorems, stating that graph properties expressible in some particular logic can be decided efficiently in graph classes having some specific structural properties, are now standard in sequential graph algorithms. One of the most classic examples is Courcelle's theorem: all properties expressible in Monadic Second-Order logic (MSO) are decidable in linear time in graphs of bounded treewidth. We provide here a distributed version of Courcelle's theorem, in the standard CONGEST model for distributed computing: For any MSO formula $φ$ and any constant $k$, there is a CONGEST algorithm that, given an input communication network $G$ of treewidth at most $k$ and of diameter $D$, decides if $G$ satisfies property $φ$ in $ ilde O(D)$ rounds. Simple examples show that the dependency on $D$ is unavoidable. Also, if we drop the assumption of bounded treewidth, deciding MSO properties such as 3-colorability are known to require $ ildeΩ(n^2)$ rounds in the CONGEST model. Our results extend to optimization problems (e.g., computing a maximum size independent set, or a minimum dominating set) and counting (e.g. triangle counting). As usual, the $ ilde{O}$ notation hides polylogarithmic factors in $n$; here it also hides a constant factor depending on $k$ and on the MSO formula $φ$. We also give a distributed algorithm producing a linear approximation for treewidth: For any $k$, it decides that the treewidth of the input network $G$ is larger than $k$ or computes a tree decomposition of width $O(k)$ and depth $O(\log n)$, in $ ilde O(k^{O(k)} D)$ rounds in CONGEST. Our algorithms make use of the low-congestion shortcuts framework introduced by Ghaffari and Haeupler [SODA 2016], and our main technical tool is an $ ilde O(k^4 D)$ algorithm for computing $(s,t)$-vertex separators of size at most $k+1$ in graphs of treewidth at most $k$.

연구 동기 및 목표

• Courcelle의 정리를 분산 CONGEST 모델으로 확장하여 폭이 유계인 그래프에서 MSO 성질의 효율적 결정을 가능하게 한다.
• 폭 ≤ k인 그래프에 대해 폭 O(k)인 트리 분해를 저깊이 및 저교란성으로 계산하는 분산 알고리즘을 설계한다.
• CONGEST 모델에서 폭이 유계일 조건 하에 MSO 결정, 최적화 및 세기 문제의 하위선형 라운드 복잡도를 달성한다.
• D-의존성이 피할 수 없고, 폭이 무한할 경우 ω(n²) 하한선이 존재함을 보여줌으로써 라운드 복잡도의 날카로운 경계를 설정한다.

제안 방법

• 저교란성 숏컷 프레임워크를 활용해 트리 분해 위에서 효율적인 분산 계산을 가능하게 한다.
• 폭 ≤ k인 그래프에서 크기 ≤ k+1인 (s,t)-정점 분리자를 Õ(k⁴D) 라운드 내에 계산하는 알고리즘을 개발한다.
• 이 분리자를 사용해 폭 O(k)이고 깊이 O(log n)인 트리 분해를 Õ(k^O(k)D) 라운드 내에 구성한다.
• 하향 및 상향 전파를 통해 호모모르피즘 클래스 정보를 사용한 동적 프로그래밍을 트리 분해 위에서 적용한다.
• 호모모르피즘 클래스 테이블을 통해 MSO 공식 평가를 인코딩하며, 최적화 및 세기 변형은 클래스 조합에 대해 최대 및 합 연산을 사용한다.
• 트리당 다항로그 수준의 간선 사용을 관리함으로써 메시지 크기가 라운드당 O(log n) 비트로 유지되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폭이 유계인 그래프에서 CONGEST 모델에서 MSO 성질을 Õ(D) 라운드 내에 결정할 수 있는가?
• RQ2 CONGEST 모델에서 하위선형 라운드 내에 저폭 트리 분해를 계산할 수 있는가?
• RQ3 폭이 무한할 경우 MSO 평가의 라운드 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 분산 트리 분해를 사용해 MSO 이외의 문제, 예를 들어 자동형태 검출 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ5 국소성과 국소적 폭이 유계인 성질을 활용해 국소 MSO 공식에 대해 상수 라운드 알고리즘을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 폭 ≤ k인 그래프에서 MSO 공식 φ는 CONGEST 모델에서 Õ(D) 라운드 내에 결정 가능하며, D-의존성은 피할 수 없다.
• 폭 O(k)이고 깊이 O(log n)인 트리 분해는 Õ(k^O(k)D) 라운드 내에 계산 가능하며, 이 알고리즘은 폭이 k를 초과하는지 여부를 결정한다.
• 동적 프로그래밍을 통해 트리 분해 위에서 최대 독립 집합 및 최소 지배 집합과 같은 최적화 문제를 Õ(D) 라운드 내에 해결할 수 있다.
• 삼각형 수를 세는 것과 같은 세기 문제도, 숫자 표현으로 인한 추가적인 log(♯sol(n)) 요소를 제외하고 Õ(D) 라운드 내에 해결할 수 있다.
• 라운드 복잡도는 날카로운 경계를 이룬다. 3-색칠 가능성과 같은 MSO 성질은 폭이 유계가 아닐 경우 ˜Ω(n²) 라운드가 필요하다.
• 저교란성 숏컷과 (s,t)-정점 분리자를 활용함으로써, 교차하는 부분수나 제한된 대역폭이 존재하더라도 효율적인 분산 계산이 가능하다.