[논문 리뷰] Distributed triangle detection via expander decomposition

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Algorithms and Data Compression인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 CONGEST 모델에서 삼각형 탐지, 세기, 열거를 O(n^{1/2}) 라운드 내에 수행할 수 있는 새로운 분산 그래프 분할 기법을 제안한다—기존의 O(n^{2/3}) 및 O(n^{3/4})의 경계를 향상시킨다. 이 방법은 간선을 고연결성, 저산림성, 잔여 성분으로 분할하고 각 성분에 맞는 전용 알고리즘을 활용하며, 고연결성 부분그래프에서 클리크 알고리즘의 시뮬레이션을 라우팅 기반으로 수행한다.

ABSTRACT

We present improved distributed algorithms for triangle detection and its variants in the CONGEST model. We show that Triangle Detection, Counting, and Enumeration can be solved in O(n1/2) rounds. In contrast, the previous state-of-the-art bounds for Triangle Detection and Enumeration were O(n2/3) and O(n3/4), respectively, due to Izumi and LeGall (PODC 2017).The main technical novelty in this work is a distributed graph partitioning algorithm. We show that in O(n1 − δ) rounds we can partition the edge set of the network G = (V, E) into three parts E = Em ∩ Es ∩ Er such that• Each connected component induced by Em has minimum degree Ω(nδ) and conductance Ω(1/polylog(n)). As a consequence the mixing time of a random walk within the component is O(polylog(n)).• The subgraph induced by Es has arboricity at most nδ.• |Er| ≤ |E|/6.All of our algorithms are based on the following generic framework, which we believe is of interest beyond this work. Roughly, we deal with the set Es by an algorithm that is efficient for low-arboricity graphs, and deal with the set Er using recursive calls. For each connected component induced by Em, we are able to simulate CONGESTED-CLIQUE algorithms with small overhead by applying a routing algorithm due to Ghaffari, Kuhn, and Su (PODC 2017) for high conductance graphs.

연구 동기 및 목표

• CONGEST 모델에서 분산 삼각형 탐지, 세기, 열거의 라운드 복잡도를 향상시키기.
• 각 성분의 구조적 특성이 다름을 고려해 간선을 구분하는 분산 그래프 분할 기법을 설계하기.
• 고연결성 부분그래프에서 CONGESTED-CLIQUE 알고리즘의 효율적 시뮬레이션을 위한 라우팅 프rotocol를 통해 고연결성 하위그래프에서의 빠른 알고리즘 시뮬레이션 가능하게 하기.
• 잔여 간선을 재귀적으로 처리하고 저산림성 구조를 활용하여 전체 라운드 복잡도를 감소시키기.

제안 방법

• 알고리즘은 간선 집합 E를 세 부분으로 분할한다: Em (고연결성, 고최소차수 성분), Es (저산림성), Er (작은 잔여 집합).
• Em의 각 성분은 최소 차수 Ω(n^δ)와 연결성 Ω(1/polylog(n))을 가지며, 이는 랜덤 워크의 빠른 혼합 시간을 보장한다.
• Es에 의해 유도되는 부분그래프는 산림성 최대 n^δ를 가지며, 이는 저산림성 알고리즘을 통한 효율적 처리를 가능하게 한다.
• 잔여 집합 Er의 크기는 최대 |E|/6이며, 이는 크기가 점점 줄어드는 방식으로 재귀 처리가 가능하다.
• 각 Em 성분에 대해, Ghaffari, Kuhn, 및 Su (PODC 2017)의 라우팅 프로토콜를 활용해 CONGESTED-CLIQUE 알고리즘의 소요 오버헤드를 최소화하여 시뮬레이션한다.
• 전체 프레임워크는 Es와 Er에 대한 전용 알고리즘과 Em에서의 시뮬레이션을 조합하여 향상된 라운드 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CONGEST 모델에서 삼각형 탐지는 o(n^{2/3}) 라운드 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 삼각형 연관 문제의 효율적 처리를 위해 성분별 전용 알고리즘을 적용할 수 있는 분산 그래프 분할 기법을 설계할 수 있는가?
• RQ3 고연결성 부분그래프를 활용하여, 예를 들어 CONGESTED-CLIQUE 모델 알고리즘과 같은 더 빠른 알고리즘을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 개선된 라운드 복잡도를 달성하기 위해 성분의 연결성, 산림성, 잔여 간선 크기 사이의 상호 교환 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 삼각형 탐지, 세기, 열거는 모두 CONGEST 모델에서 O(n^{1/2}) 라운드 내에 해결 가능하며, 이는 기존의 O(n^{2/3}) 및 O(n^{3/4})의 경계를 향상시킨다.
• 제안된 분산 확산체 분해는 간선을 세 부분으로 나누며, 각각 고연결성, 저산림성, 소규모 잔여 크기라는 구조적 보장을 제공한다.
• Em의 각 연결 성분은 최소 차수 Ω(n^δ)와 연결성 Ω(1/polylog(n))을 가지며, 이는 랜덤 워크의 O(polylog(n)) 혼합 시간을 보장한다.
• Es에 의해 유도되는 부분그래프는 산림성 최대 n^δ를 가지며, 이는 저산림성 알고리즘을 통한 효율적 처리를 가능하게 한다.
• 잔여 집합 Er에는 최대 |E|/6개의 간선이 포함되어 있으며, 이는 크기가 점점 줄어드는 방식으로 재귀 처리가 가능하다.
• 프레임워크는 Ghaffari, Kuhn, 및 Su (PODC 2017)의 라우팅 프로토콜를 활용해 고연결성 성분에서 CONGESTED-CLIQUE 알고리즘의 시뮬레이션을 소요 오버헤드를 최소화하여 가능하게 한다.