[논문 리뷰] Distribution of Random Variables on the Symmetric Group

Vytas Zacharovas|ArXiv.org|2009. 01. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $S_n$ 및 그 부분집합 $S_n^{(k)}$ 위에서 랜덤 순열의 순서의 로그 분포에 대한 날카운 수렴 속도 추정을 수립하며, Erdős–Turán 법칙을 확장한다. 해석적이고 확률론적 방법을 사용하여, Voronoi 합산법과 Tauberian 정리 등을 적용하여 최적의 수렴 속도가 $O(1/\sqrt{\log n})$임을 증명하고, 가중 측도 하에서 곱함수에 대한 명시적인 오차 한계를 도출한다.

ABSTRACT

The well known Erdos-Turan law states that the logarithm of an order of a random permutation is asymptotically normally distributed. The aim of this work is to estimate convergence rate in this theorem and also to prove analogous result for distribution of the logarithm of an order of a random permutation on a certain class of subsets of the symmetric group. We also study the asymptotic behavior of the mean values of multiplicative functions on the symmetric group and the results we obtain are of independent interest besides their application to the investigation of the remainder term in the Erdos-Turan law. We also study a related problem of distribution of the degree of a splitting field of a random polynomial and obtain sharp estimates for its convergence rate to normal law. In research we apply both probabilistic and analytic methods. Some analytic methods used here have their origins in the probabilistic number theory, and some have their roots in the theory of summation of divergent series. One of the approaches we use is to apply Tauberian type estimates for Voronoi summability of divergent series to analyze the generating functions of the mean values of multiplicative functions.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 순열의 순환 수 분포에 대한 Erdős–Turán 법칙의 나머지 항 추정을 개선하기 위해.
• 대칭군의 부분집합 $S_n^{(k)}$ 위에서 랜덤 순열의 순서의 로그에 대한 유사한 수렴 속도 결과를 수립하기 위해.
• 특히 $S_n$ 및 $S_n^{(k)}$ 위에서 곱함수의 평균값에 대한 새로운 추정을 도출하여, 독립적인 관심을 끌 만한 결과를 얻기 위해.
• 랜덤 다항식의 분할 체의 차수 분포가 정규분포로 수렴하는 속도를 분석하기 위해.
• 이러한 맥락에서 발산하는 급수의 Voronoi 합산법을 위한 Tauberian 정리를 개발하여 주요 수렴 결과를 뒷받침하기 위해.

제안 방법

• 곱함수 $d(\sigma)$를 통해 정의된 $S_n$ 위의 가중 확률 측도 $\nu_{n,d}$를 사용하여, 균일 측도 및 Ewens 측도를 일반화한다.
• 가중 평균의 수렴을 분석하기 위해 Voronoi 합산법과 Tauberian 정리를 적용한다.
• 생성함수와 특이점 분석을 사용하여 $S_n$ 위에서 곱함수 $f$의 평균값 $M_n^d(f)$를 추정한다.
• 순환형 분해와 $|\hat{f}(k)-1|$에 대한 경계를 이용하여 $|M_n^d(f) - \exp(\sum_{k=1}^n d_k(\hat{f}(k)-1)/k)|$의 오차 경계를 유도한다.
• Berry–Esséen 정리와 농도 불등식을 적용하여 $\log O_n(\sigma)$ 및 $\log P_n(\sigma)$의 꼬리 확률을 경계한다.
• 순환 지수의 구조와 점근 전개를 사용하여 $S_n^{(k)}$ 위에서 $\log O_n(\sigma)$의 분포를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭군 $S_n$ 위에서 $\log O_n(\sigma)$의 분포가 정규분포로 수렴하는 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 가중 측도 $\nu_{n,d}$ 하에서 Erdős–Turán 법칙의 오차 항은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $S_n^{(k)}$ 내에서 랜덤 순열의 순서의 로그인 $\log P_n(\sigma)$의 분포에 대한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 일반적인 $d$-가중 측도 하에서 $S_n$ 위의 곱함수는 어떻게 행동하며, 그 평균값 추정은 무엇인가?
• RQ5 이 맥락에서 수렴 속도 결과를 뒷받침하기 위해 Voronoi 합산법을 위한 Tauberian 정리를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• $S_n$ 위에서 $\log O_n(\sigma)$의 분포에 대한 수렴 속도는 $O(1/\sqrt{\log n})$이며, 이 속도는 최적이다.
• $S_n^{(k)}$에 대해서도 $\log O_n(\sigma)$의 정규성 수렴 속도는 $O(1/\sqrt{\log n})$이며, 명시적인 오차 경계가 존재한다.
• $\hat{f}(j)$ 및 $d_j$에 대한 조건 하에서 Erdős–Turán 법칙의 나머지 항은 $O(\mu_n^{c_1} + n^{-c_2})$로 개선된다.
• 랜덤 다항식의 분할 체의 차수 분포는 정규분포로 $O(1/\sqrt{\log n})$ 속도로 수렴한다.
• 이러한 맥락에서 곱함수의 수렴 분석을 뒷받침하는 새로운 Voronoi 합산법을 위한 Tauberian 정리가 확립되었다.
• 명시적인 오차 경계가 도출되었으며, $\Delta_n \leq c\left(\sum_{j=0}^n p_j\right)^{-1}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|p_{n-k} + \frac{1}{n^{d^-}}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|k^{d^--1} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |\hat{f}(k)-1|\right)$로 표현되며, 이는 $d^-$ 및 $d^+$에 대한 의존성을 보여준다.