[논문 리뷰] Distribution of shifted discrete random walk generated by distinct random variables and applications in ruin theory

Simonas Gervė, Andrius Grigutis|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 26.

Probability and Risk Models참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수계절의 이산시간 리스크 모형에서 매기기 변동하는 청구 분포와 일정한 보험료 수입을 가진 상황에서 최종 생존 확률을 계산하기 위한 새로운 분석 프레임워크를 개발한다. 생성 함수와 특성 다항식의 근을 통해 유도된 선형방정식계를 풀어 초기 생존 확률를 계산하고, 닫힌 형태의 생성 함수를 도출함으로써 임의의 초기 순자산 수준에 대해 파산 및 생존 확률를 정확하게 계산할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we set up the distribution function $$ φ(u)=\mathbb{P}\left(\sup_{n\geqslant 1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-κ ight)

연구 동기 및 목표

• 비일관된, 주기적으로 분포하는 청구 금액과 일정한 보험료율을 가진 이산시간 리스크 모형에 대한 이전 연구를 일반화하기 위해.
• 서로 다른, i.i.d.가 아닌 증분을 가진 이동 평균의 최대값 분포를 유도하기 위해.
• 매기기 변동하는 청구 분포와 일정한 보험료율 κ를 가진 다계절 리스크 모형에서 최종 생존 확률 φ(u)를 계산하기 위해, 선형방정식계를 풀어 초기값 φ(0), ..., φ(κN−1)를 구하기 위해.
• 임의의 초기 순자산 u에 대해 생존 확률를 효율적으로 계산할 수 있도록 φ(u+1)에 대한 닫힌 형태의 생성 함수를 제공하기 위해.
• 다양한 κ 및 N 설정에서 포아송 분포 및 기타 이산 분포를 사용한 계산 예제를 통해 방법의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 생존 확률 φ(u)를 P(supₙ≥₁ Σᵢ₌₁ⁿ(Xᵢ−κ) < u)로 정의하여, 주기적 청구 분포와 일정한 보험료율 κ를 가진 리스크 과정을 모델링한다.
• 생성 함수와 s^κN = G_{S_N}(s)의 근을 기반으로 한 계수를 사용하여, 초기값 φ(0), ..., φ(κN−1)를 구하기 위한 선형방정식계 (16)를 도출한다.
• φ(u+1)에 대한 생성 함수 Ξ(s) = uᵀv / (e^{a_{10}(s−1)} − s^{50})를 구성한다. 여기서 u와 v는 초기 확률 및 포아송 가중 합에서 유도된 벡터이다.
• M_j 및 G_j를 포함하는 행렬계를 사용하여 m_i^{(j)} 계수를 구하고, 이를 바탕으로 φ(u) = Σ_{i=0}^{u} m_i^{(1)} (u ≤ 5)를 통해 누적 φ(u) 값을 계산한다.
• 재귀 관계를 적용하여 초기 범위를 초월한 φ(u)를 확장한다. 여기서 n ≥ 5일 때 m^{(j)}_n = (m^{(j−1)}_{n−5} − Σ 항들) / x_0^{(j−1)} 이다.
• 최종 방정식을 사용하여 φ(0)를 계산한다. 이는 총 청구 합 ≤49인 모든 청구 경로의 결합 확률과 해당하는 생존 확률 φ(50−Σi_j)를 합산하여 시스템을 닫는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수계절의 이산시간 리스크 모형에서 매기기 변동하는 청구 분포와 일정한 보험료율을 가진 상황에서 최종 생존 확률 φ(u)는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 모형에서 초기값 φ(0), ..., φ(κN−1)를 결정하는 선형방정식계의 구조는 어떠한가?
• RQ3 임의의 κ 및 N에 대해 다계절 리스크 모형에서 φ(u+1)에 대한 닫힌 형태의 생성 함수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 특성 방정식 s^κN = G_{S_N}(s)의 근은 생존 확률 시스템의 해에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 파라미터를 가진 포아송 분포와 같은 현실적인 청구 분포에 대해 이 방법의 계산 정확도와 확장성은 어떠한가?

주요 결과

• κ=5, N=10일 때, 선형계에서 유도된 초기 계수 m_i^{(1)}을 사용하여 φ(1) = 0.1821, φ(2)=0.2425, φ(3)=0.3009, φ(4)=0.3554, φ(5)=0.4058로 계산된다.
• T=10, u=20일 때의 유한시간 생존 확률은 0.990이며, 최종 생존 확률 φ(20)는 0.826으로 나타나 고초기 순자산 수준에서 장기 생존 확률가 크게 감소함을 시사한다.
• |s|<1 및 e^{a_{10}(s−1)} ≠ s^{50} 조건에서 생성 함수 Ξ(s)가 명시적으로 유도되었으며, u 및 v는 초기 확률 및 포아송 가중 합에서 구성된 벡터이다.
• 모든 청구 경로에서 총 청구 합 ≤49인 경우의 결합 확률 합을 사용하여 φ(0)를 성공적으로 계산하였다.
• κ=2, N=2일 때, φ(1)은 0.1821로 산출되었으며, φ(2)=0.2425, φ(3)=0.3009, φ(4)=0.3554, φ(5)=0.4058로 나타나 파라미터 조합 간 일관성이 확인되었다.
• 표 5의 계산 결과는 T가 증가함에 따라 생존 확률가 1로 수렴하고, u가 증가함에 따라 최종 생존 확률가 안정화됨을 확인하였으며, κ=5, N=10일 때 u=30에서 φ(∞)≈0.923로 나타났다.