[논문 리뷰] Distributional property testing in a quantum world

András Gilyén, Tongyang Li|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 양자 특이값 변환(QSVT)을 사용한 일반적인 양자 알고리즘 프레임워크를 제안하여 고전적 및 양자 분포의 밀도, 독립성, 엔트로피에 대한 분포적 성질 테스팅을 수행한다. 이는 ℓ2-유사도 테스팅, 독립성 테스팅, 엔트로피 추정 등에서 상당한 속도 향상을 달성한다. 특히, 분포에 대한 일관된 접근 방식을 갖춘 양자 알고리즘은 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ))의 질의 횟수로 ℓ2-유사도 테스팅을 수행하며, 기존의 고전적 방법보다 우수하며, 일관된 접근 모델 하에서 밀도 연산자 테스팅에 대해 처음으로 양자 속도 향상을 제공한다.

ABSTRACT

A fundamental problem in statistics and learning theory is to test properties of distributions. We show that quantum computers can solve such problems with significant speed-ups. In particular, we give fast quantum algorithms for testing closeness between unknown distributions, testing independence between two distributions, and estimating the Shannon / von Neumann entropy of distributions. The distributions can be either classical or quantum, however our quantum algorithms require coherent quantum access to a process preparing the samples. Our results build on the recent technique of quantum singular value transformation, combined with more standard tricks such as divide-and-conquer. The presented approach is a natural fit for distributional property testing both in the classical and the quantum case, demonstrating the first speed-ups for testing properties of density operators that can be accessed coherently rather than only via sampling; for classical distributions our algorithms significantly improve the precision dependence of some earlier results.

연구 동기 및 목표

• 분포에 대한 일관된 양자 접근 방식을 활용하는 일반적인 양자 접근 방식을 개발한다.
• ℓα-유사도 테스팅, 독립성 테스팅, 엔트로피 추정과 같은 기본 문제들에 대해 양자 속도 향상을 입증한다.
• 샘플링이 아닌, 단지 양자 쿼리 접근 방식을 통해 밀도 연산자의 성질을 테스팅하기 위한 최초의 양자 알고리즘을 수립한다.
• 일관된 접근 방식을 활용한 양자 알고리즘을 통해 고전적 분포 테스팅의 정밀도 의존성 문제를 개선한다.
• QSVT가 고전적 및 양자 환경 모두에서 분포 문제에 자연스럽게 적용됨을 보여주며, 양자 알고리즘과 통계적 성질 테스팅을 연결한다.

제안 방법

• 저자들은 밀도 연산자의 특이값을 조작하고 분포를 샘플링하기 위해 핵심 기법으로 양자 특이값 변환(QSVT)을 사용한다.
• 밀도 행렬의 블록 인코딩을 구성하고, 다항식 변환을 적용하여 앰플리튜드 추정을 통해 ∥ρ−σ∥₂²와 같은 양을 추정한다.
• ℓ2-유사도 테스팅의 경우, 확률 질량의 이진 간격에 대해 분할 정복 기법을 사용하여 문제를 분해하며, 각 x에 대해 p(x)+q(x) ∈(2−k−1, 2−k+1)이 되도록 k로 레이블링한다.
• M = O(√n/(νϵ))의 호출 횟수로 대상 상태를 측정할 확률을 앰플리튜드 추정을 통해 추정하며, 반복을 통해 성공 확률을 높인다.
• 분포를 나타내는 양자 상태를 일관된 준비가 가능하게 하기 위해, 유니터리 Uρ를 통한 양자 쿼리 접근 방식(정제된 접근 방식)을 사용한다.
• SWAP 테스트와 앰플리튜드 추정을 조합하여 Tr[ρσ], Tr[ρ²], Tr[σ²]를 추정하고, 이로써 ∥ρ−σ∥₂²를 추정할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 컴퓨터는 일관된 접근 방식을 통해 고전적 및 양자 분포의 성질을 체계적이고 더 효율적으로 테스팅할 수 있는가?
• RQ2 일관된 양자 접근 하에서 두 분포 간 ℓ2-유사도 테스팅의 쿼리 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 양자 알고리즘은 양자 분포 테스팅 환경에서 독립성 테스팅과 바르누아 엔트로피 추정에 대해 증명 가능한 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ4 ℓ2-유사도 테스팅에 대해 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ))의 상한과 일치하는 하한이 존재하는가?
• RQ5 최적성 증명을 위해 정제된 양자 쿼리 접근 모델에 적합한 하한 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 분포에 대한 일관된 접근 방식을 갖춘 고전적 분포 간의 강건한 ℓ2-유사도 테스팅에 대해 O(1/(νϵ) log³(1/νϵ) log log(1/νϵ))의 쿼리 복잡도를 달성한다.
• 양자 밀도 연산자에 대해서는, 강건한 ℓ2-유사도 테스팅의 쿼리 복잡도가 O(min(√n/ϵ, 1/ϵ²)/ν)로, 일관된 접근 하에서 알려진 최고의 복잡도와 일치한다.
• 샘플링이 아닌 일관된 쿼리 접근 방식을 통해 밀도 연산자의 성질을 테스팅하는 데 있어 최초의 양자 속도 향상을 제공한다.
• QSVT와 앰플리튜드 추정을 사용하여 정밀도 νϵ²로 ∥ρ−σ∥₂²를 추정함으로써 강건한 테스팅이 가능하다.
• 특히 강건한 테스팅 환경에서, 이전의 고전적 알고리즘 대비 정밀도 의존성 향상을 달성한다.
• 가장 강력한 순수 상태 준비 모델에서 ℓ2-유사도 테스팅에 대해 Ω(1/ϵ)의 하한이 확립되어 상한의 거의 최적성을 보여준다.