[논문 리뷰] Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Right-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 28.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 35인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키 애매함 집합 하에서 우변 불확실성이 있는 분포로 저항성 확률적 제약 프로그래밍(DR-CCP)을 위한 개선된 정수형 혼합계획법(MIP) 설정과 두 가지 유형의 타당 불등식을 제안한다. 명시적 확률적 제약 프로그래밍, 혼합 집합, 그리고 저항성 0-1 프로그래밍 간의 연결성을 활용하여 연속적 이완 경계를 크게 강화함으로써, 해를 구하는 데 소요되는 시간을 수시간에서 수초로 단축시키고, 수천 개의 시나리오를 포함하는 대규모 문제의 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider exact deterministic mixed-integer programming (MIP) reformulations of distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) with random right-hand sides over Wasserstein ambiguity sets. The existing MIP formulations are known to have weak continuous relaxation bounds, and, consequently, for hard instances with small radius, or with large problem sizes, the branch-and-bound based solution processes suffer from large optimality gaps even after hours of computation time. This significantly hinders the practical application of the DR-CCP paradigm. Motivated by these challenges, we conduct a polyhedral study to strengthen these formulations. We reveal several hidden connections between DR-CCP and its nominal counterpart (the sample average approximation), mixing sets, and robust 0-1 programming. By exploiting these connections in combination, we provide an improved formulation and two classes of valid inequalities for DR-CCP. We test the impact of our results on a stochastic transportation problem numerically. Our experiments demonstrate the effectiveness of our approach; in particular our improved formulation and proposed valid inequalities reduce the overall solution times remarkably. Moreover, this allows us to significantly scale up the problem sizes that can be handled in such DR-CCP formulations by reducing the solution times from hours to seconds.

연구 동기 및 목표

• 워샤프스키 애매함 집합 하에서 우변 불확실성이 있는 DR-CCP를 위한 기존 MIP 설정에서 연속적 이완 경계가 열악하여 큰 최적성 갭과 느린 수렴이 발생하는 문제를 해결한다.
• 특히 브랜치 앤 바운드 솔버를 사용할 경우 작은 워샤프스키 반경이나 대규모 문제 크기에서 어려움을 겪는 현재 설정의 실용적 한계를 극복한다.
• 명시적 확률적 제약 프로그래밍, 혼합 집합, 그리고 저항성 0-1 프로그래밍과의 숨겨진 구조적 연결성을 파악함으로써 MIP 재설정을 강화한다.
• CVaR 해석을 활용하여 더 컴act하고 big-M 제약 조건이 없는 새로운 MIP 설정을 개발한다.
• 다각형 분석을 통해 유도된 두 가지 새로운 타당 불등식 유형—혼합 불등식과 경로 불등식—을 제안하여 설정을 더욱 타이트하게 한다.

제안 방법

• 워샤프스키 애매함 집합 하에서 우변 불확실성이 있는 DR-CCP를 이중 표현을 통해 재설정함으로써 결정론적 MIP 재설정이 가능해진다.
• DR-CCP와 명시적 표본 평균 근사(SAA) 설정 간의 숨겨진 연결성을 파악하여, SAA 영역에 대해 타당한 혼합 불등식을 도출할 수 있다.
• 분위수 강화 기법을 DR-CCP 환경에 적응시켜 재설정에서 big-M 제약 조건을 제거하고 수치적 안정성을 향상시킨다.
• 분포로 저항성 제약의 CVaR 해석을 활용하여 제약 조건 수가 적은 더 컴act한 MIP 재설정을 유도한다.
• 저항성 0-1 프로그래밍과 유사한 정수형 하위구조를 밝혀내어, 이 연결성을 기반으로 두 번째 유형의 타당 불등식인 경로 불등식을 도출한다.
• 혼합 불등식과 경로 불등식을 동시에 분리하는 브랜치 앤 컷 방법을 구현하여 설정을 더욱 타이트하게 하고 수렴 속도를 가속화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 MIP 설정에서 우변 불확실성이 있는 DR-CCP의 연속적 이완 경계는 어떻게 크게 강화될 수 있는가?
• RQ2 DR-CCP, 명시적 확률적 제약 프로그래밍, 혼합 집합, 그리고 저항성 0-1 프로그래밍 간에 존재하는 숨겨진 구조적 연결성은 무엇이며, 이를 어떻게 설정 개선에 활용할 수 있는가?
• RQ3 분포로 저항성 제약의 CVaR 해석을 활용하여 더 컴act하고 효율적인 MIP 재설정을 만들 수 있는가?
• RQ4 혼합 불등식과 경로 불등식은 워샤프스키 애매함 집합 하에서 DR-CCP의 최적성 갭과 해를 구하는 데 소요되는 시간을 어느 정도 감소시키는가?
• RQ5 개선된 설정과 타당 불등식은 수천 개의 시나리오를 포함하는 대규모 문제 인스턴스에 스케일링되어 해를 구하는 데 소요되는 시간을 수시간에서 수초로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 개선된 MIP 설정은 최대 3,000개의 시나리오를 포함하는 인스턴스에서 해를 구하는 데 소요되는 시간을 수시간에서 1분 이내로 단축시켜 확장성을 크게 향상시켰다.
• F=10, D=100, N=3,000 인 경우, 개선된 설정은 모든 문제를 수초 내에 최적해로 해결할 수 있었지만, 기준 설정은 1시간 이내에 타당해를 찾지 못했다.
• 혼합 및 경로 불등식의 포함으로 최적성 갭이 추가로 감소하였다: N=3,000, θ=θ₁ 일 때, 갭은 0.78% (개선됨)에서 0.48% (혼합+경로)로 감소하였다.
• 개선된 설정의 루트 노드 최적성 갭은 평균적으로 최대 0.8% 이하이며, θ≥θ₂ 일 때는 루트 노드에서 최적성 갭 임계값 0.01%를 달성하여 강력한 초기 경계를 나타낸다.
• 제안된 설정과 불등식은 작은 워샤프스키 반경에서 특히 효과적이며, 이 경우 명시적 SAA 영역가 저항 영역에 더 가까운 근사가 되기 때문이며, 혼합 불등식의 영향력이 더 크다.
• 계산 실험 결과, 브랜치 앤 바운드 과정은 갭 감소에 거의 기여하지 않아, 강력한 초기 설정의 중요성을 입증하였으며, 제안된 방법이 이를 성공적으로 달성한다.