[논문 리뷰] Distributionally Robust Optimization with Decision Dependent Ambiguity Sets

Fengqiao Luo, Sanjay Mehrotra|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 24.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 결정 변수에 따라 변화하는 확률 분포의 모호성 집합을 갖는 분포로 보수 최적화 프레임워크를 제안한다. 이는 내생적 불확실성을 모델링한다. 이론적 기반으로 선형, 콘적, 또는 라그랑주 이중성 이론을 활용하여 이러한 복잡한 문제들을 전역 최적화 기법으로 해결 가능한 유한 또는 준무한 프로그램으로 재구성한다. 이를 통해 모멘트, 워샤프스키 거리, 필라-다이버전스, 콜모고로프-스미르nov 기반의 모호성 집합을 포함한 결정에 의존하는 보수 스토케스틱 최적화 문제를 해결할 수 있다.

ABSTRACT

We study decision dependent distributionally robust optimization models, where the ambiguity sets of probability distributions can depend on the decision variables. These models arise in situations with endogenous uncertainty. The developed framework includes two-stage decision dependent distributionally robust stochastic programming as a special case. Decision dependent generalizations of five types of ambiguity sets are considered. These sets are based on bounds on moments, Wasserstein metric, $ϕ$-divergence and Kolmogorov-Smirnov test. For the finite support case, we use linear, conic or Lagrangian duality to give reformulations of the models with a finite number of constraints. These reformulations allow solutions of such problems using global optimization techniques. Certain reformulations give rise to non-convex semi-infinite programs. Techniques from global optimization and semi-infinite programming can be used to solve these reformulations.

연구 동기 및 목표

• 결정에 따라 변화하는 불확실성 분포를 모델링하는 최적화 문제를 다루며, 실제 시스템에서 내생적 불확실성을 포괄한다.
• 결정에 의존하지 않는 모호성 집합을 넘어서, 결정에 의존하는 설정으로 분포로 보수 최적화를 확장한다.
• 원래의 비볼록, 준무한 문제를 전역 최적화 방법으로 해결 가능한 형태로 변환하는 이중성 기반 재구성 기법을 개발한다.
• 모멘트 한계, 공분산 제약, 워샤프스키 거리, 필라-다이버전스, 콜모고로프-스미르노프 검정 기반의 다섯 가지 다른 유형의 모호성 집합에 대해 프레임워크의 적용 가능성을 입증한다.
• 재구성된 문제를 해결하기 위한 이론적 기반과 알고리즘적 경로를 제공하며, 특히 유한 및 연속 지지집합 케이스에서 다룬다.

제안 방법

• 결정에 의존하는 분포로 보수 최적화의 내부 최대-최소 문제를 선형, 콘적, 또는 라그랑주 이중성으로 재구성한다.
• 이중성을 적용하여 모호성 집합 제약 조건을 지지집합 유형에 따라 등가의 유한 또는 준무한 제약 조건으로 변환한다.
• 유한 지지집합의 경우, 이중성을 활용해 유한 제약 프로그램으로 문제를 재구성한다. 연속 지지집합의 경우, 잘라내기 표면 알고리즘에 적합한 준무한 프로그램을 유도한다.
• 유한 수렴 보장이 있는 연속성과 컴acts 조건 하에, 수정된 교환 방법을 활용한 잘라내기 표면 알고리즘을 사용하여 결과 준무한 프로그램을 해결한다.
• 지지집합을 분할하고 시나리오 확률 및 모멘트에 대한 제약 조건을 도입함으로써 모멘트 기반 모호성 집합을 재구성한다.
• 안장점 접근법과 이중성을 사용하여 필라-다이버전스 및 콜모고로프-스미르노프 기반 모호성 집합을 재구성하며, 정규 조건 하에서 정확한 재구성 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정 변수에 따라 변화하는 모호성 집합을 포함하는 분포로 보수 최적화는 어떻게 확장될 수 있는가? 이는 내생적 불확실성을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 모멘트 한계, 워샤프스키 거리, 필라-다이버전스, 콜모고로프-스미르노프 통계 기반의 결정에 의존하는 모호성 집합에 대해 어떤 이중성 기반 재구성 기법이 가능한가?
• RQ3 재구성된 문제들은 전역 최적화 기법으로 해결 가능한가? 이러한 재구성 문제의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ4 결정에 의존하는 분포로 보수 최적화 문제의 계산 복잡도와 해법 가능성은 어떻게 되며, 특히 연속 지지집합 케이스에서 어떤가?
• RQ5 연속 모호성 집합에서 유도된 준무한 프로그램을 해결하기 위해 잘라내기 표면 알고리즘은 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 분포로 보수 최적화를 결정에 의존하는 모호성 집합으로 성공적으로 확장하여, 이중 단계 스토케스틱 최적화 문제에서 내생적 불확실성을 모델링할 수 있게 하였다.
• 유한 지지집합의 경우, 제안된 재구성 기법은 제한된 수의 제약 조건을 갖는 문제를 도출하여 전역 최적화 솔버에 적합하게 한다.
• 모멘트 기반 모호성 집합의 재구성은 지지집합을 분할하고 시나리오 확률 및 모멘트에 대한 제약 조건을 도입함으로써 유도된 준무한 제약 조건을 포함한다.
• 이중성의 사용은 내부 최대-최소 문제의 정확한 재구성 보장하며, 표준 정규 조건 하에서 최적성 유지.
• 연속 지지집합의 경우, 재구성된 문제는 준무한 프로그램이 되며, 컴팩트성과 연속성 조건 하에 유한 수렴 보장이 있는 잘라내기 표면 알고리즘으로 해결 가능.
• 프레임워크는 다섯 가지 모호성 집합 유형에서 검증되었으며, 다양한 보수 최적화 설정에 적용 가능한 이중성 기반 접근법의 일반성과 적용 가능성을 입증한다.