[논문 리뷰] Distributions of Statistics over Pattern-Avoiding Permutations

Michael Bukata, Ryan Kulwicki외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 132- 및 321-피回避하는 순열에서의 순열 통계 분포—오르막, 내림막, 꼭지점, 골짜기, 이중 오르막, 이중 내림막—을 연구한다. 특히 132- 및 321-피回避하는 순열에 초점을 맞추며, 구조적 분해와 다이크 경로와의 전단사 사상 등을 통해 각 통계에 대한 정확한 수량을 유도한다. 이로써 카탈란 수와 조합 수열 간의 새로운 연결 고리가 드러나며, 주요 결과로는 321-피回避하는 순열에서 꼭지점의 분포와 (132,321)-피回避하는 클래스에서의 모든 여섯 통계에 대한 명시적 공식이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We consider the distribution of ascents, descents, peaks, valleys, double ascents, and double descents over permutations avoiding a set of patterns. Many of these statistics have already been studied over sets of permutations avoiding a single pattern of length 3. However, the distribution of peaks over 321-avoiding permutations is new and we relate it statistics on Dyck paths. We also obtain new interpretations of a number of well-known combinatorial sequences by studying these statistics over permutations avoiding two patterns of length 3.

연구 동기 및 목표

• 패턴 피回避하는 순열 위에서 고전적 순열 통계—오르막, 내림막, 꼭지점, 골짜기, 이중 오르막, 이중 내림막—의 분포를 분석하는 것.
• 기존의 단일 패턴 피回避(예: 321-피回避하는 순열)에 대한 결과를 확장하여, 특히 (132,321)-피回避하는 순열과 같은 이중 패턴 경우에 적용하는 것.
• 이중 패턴 피回避 클래스 위에서 이러한 통계를 연구함으로써 잘 알려진 수열들에 대한 새로운 조합적 해석을 제시하는 것.
• 특히 321-피回避하는 순열에서의 꼭지점 수와 다이크 경로 통계 간의 연결 고리를 탐색하는 것.

제안 방법

• (132,321)-피回避하는 순열을 증가 수열의 직접 합과 기울기 합 형태로 구조적 분해하는 것.
• 역순 및 보완 대칭을 활용하여 오르막과 내림막 등의 통계 분포가 서로 다른 패턴 클래스 간에 관련됨을 규명하는 것.
• 가장 큰 원소의 위치와 초기 증가 세그먼트의 구조에 기반한 S_n(132,321)의 순열에 대한 귀납적 구성.
• 매개변수화된 형태(예: I_a ⊖ I_b ⊕ I_{n-a-b})를 기반으로 한 조합적 수량 계산을 통해 통계 값별 순열 수를 세는 것.
• 321-피回避하는 순열에서의 꼭지점 수와 다이크 경로 통계 간의 전단사 기반 추론.
• 기존의 카탈란 수와 다이크 경로에 대한 결과를 응용하여 유도된 분포를 해석하고 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 321-피回避하는 순열에서 꼭지점의 분포는 어떻게 되며, 다이크 경로와 어떤 관련이 있는가?
• RQ2 (132,321)-피回避 클래스에서 이중 오르막과 이중 내림막의 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 (132,321)-피回避하는 순열 중 오르막, 내림막, 꼭지점 또는 골짜기가 k 개인 정확한 수는 얼마인가?
• RQ4 이중 패턴 피回避하는 순열 위에서의 통계를 통해 기존의 잘 알려진 수열들에 대한 새로운 조합적 해석을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• S_n(132,321)에 속하는 순열의 수는 정확히 –n choose 2– + 1이며, 항등원을 제외한 나머지 –n choose 2–개의 순열이 존재한다.
• S_n(132,321)에서 오르막의 분포는 k = n-1일 때 1(항등원), k = n-2일 때 –n choose 2–이며, 그 외에는 0이다.
• 꼭지점의 분포는 k = 0일 때 n(꼭지점 없음), k = 1일 때 –n-1 choose 2–이며, 그 외에는 0이다.
• 골짜기의 분포는 k = 0일 때 2, k = 1일 때 –n choose 2– - 1이며, 그 외에는 0이다.
• 이중 오르막의 수는 k = n-2일 때 1, k = n-3일 때 n, k = n-4일 때 –n choose 2– - n이며, 그 외에는 0이다.
• S_n(132,321)의 모든 순열은 321 패턴을 피하기 때문에 이중 내림막이 0개이다.