[논문 리뷰] Divergence-free Reconstruction Operators for Pressure-Robust Stokes Discretizations With Continuous Pressure Finite Elements

Philip L. Lederer, Alexander Linke외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 28인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 연속 압력 공간을 갖는 Taylor-Hood 및 미니 유한요소에 대해 발산이 없는 속도 재구성 연산자를 신규로 도입하여, 압력에 강인한 Stokes 이산화를 가능하게 한다. 정점 패치에서 국소적으로 유량을 평형화하고, H(div)-적합한 재구성에 의해 수직성을 강제함으로써, 최적 수렴성을 달성하고 압력에 의존하는 속도 오차를 제거한다. 이는 큰 연속 압력이 존재하는 벤치마크에서 기존 방법보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Classical inf-sup stable mixed finite elements for the incompressible (Navier-)Stokes equations are not pressure-robust, i.e., their velocity errors depend on the continuous pressure. However, a modification only in the right hand side of a Stokes discretization is able to reestablish pressure-robustness, as shown recently for several inf-sup stable Stokes elements with discontinuous discrete pressures. In this contribution, this idea is extended to low and high order Taylor-Hood and mini elements, which have continuous discrete pressures. For the modification of the right hand side a velocity reconstruction operator is constructed that maps discretely divergence-free test functions to exactly divergence-free ones. The reconstruction is based on local $H(\mathrm{div})$-conforming flux equilibration on vertex patches, and fulfills certain orthogonality properties to provide consistency and optimal a-priori error estimates. Numerical examples for the incompressible Stokes and Navier-Stokes equations confirm that the new pressure-robust Taylor-Hood and mini elements converge with optimal order and outperform significantly the classical versions of those elements when the continuous pressure is comparably large.

연구 동기 및 목표

• 연속 압력이 있는 전통적인 Taylor-Hood 및 미니 유한요소에서 압력에 강인하지 못한 점을 해결한다.
• 이산 발산이 없는 테스트 함수를 정확히 발산이 없는 것으로 재구성하는 속도 재구성 연산자를 개발한다.
• 재구성에 수직성과 일致성 조건을 통합하여 최적 수렴성과 일致성을 확보한다.
• 스티프니스 행렬을 변경하지 않고 우변을 수정함으로써 압력에 강인한 성질을 달성한다.
• 이전에 불연속 압력 요소에 국한되어 있던 압력에 강인한 프레임워크를 연속 압력 유한요소 방법으로 확장한다.

제안 방법

• 정점 패치에서 국소적인 H(div)-적합한 유량 평형을 기반으로 한 재구성 연산자 Rh를 구성한다.
• 이산 발산을 유지하고 일치성을 확보하는 국소 이산 문제를 정의함으로써 재구성을 정의한다.
• 버블 프로젝터, 평균화 연산자 및 Koszul 복합체 성질을 사용하여 필요한 수직성과 일치성 조건을 강제한다.
• H1-적합한 속도 테스트 함수를 정확히 발산이 없는 H(div)-적합한 것으로 매핑한다.
• Stokes 변분형식의 우변을 Rh를 사용하여 수정함으로써 압력에 강인한 성질을 달성한다.
• 재구성이 이산 LBB 조건을 유지하고 기존 방법의 스티프니스 행렬을 그대로 이어받는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우변 수정을 통해 연속 이산 압력이 있는 Taylor-Hood 및 미니 요소에 대해 압력에 강인한 성질을 달성할 수 있는가?
• RQ2 연속 압력 설정에서 이산 발산이 없는 함수를 정확히 발산이 없는 것으로 재구성하는 속도 재구성 연산자를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 정점 패치에서 어떤 국소 문제 설정이 재구성 연산자의 최적 수렴성과 일치성 보장에 기여하는가?
• RQ4 제안된 방법이 Stokes 및 Navier-Stokes 문제 모두에서 최적 수렴률을 유지하는가?
• RQ5 큰 연속 압력이 존재할 경우, 수정된 방법의 성능이 기존 방법보다 어떻게 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• 수정된 Taylor-Hood 및 미니 요소는 큰 연속 압력이 존재하는 상황에서도 속도에 대해 최적의 H1 수렴 차수와 압력에 대해 최적의 L2 수렴 차수를 달성한다.
• k=4 Taylor-Hood 요소의 경우, 7,572개의 자유도를 가진 메esh에서 속도 오차가 3.66×10−12로 감소하여, 정확한 해가 이산 공간에 포함될 경우 근접 기계 정밀도에 도달함을 시사한다.
• 큰 연속 압력이 존재하는 문제에서 기존 방법에 비해 뚜렷이 뛰어난 성능을 보이며, 기존 방법은 압력에 의존하는 속도 오차로 곤란을 겪는다.
• 수치 실험 결과, 메쉬 세분화는 기존 방법의 속도 오차를 해결하지 못하지만, 수정된 방법은 최적 수렴성을 유지한다.
• Navier-Stokes 잠재류 흐름 예제에서, Rh를 사용한 비표준 이산화 방법은 정확한 해가 이산 공간에 포함될 경우 속도 오차를 완전히 제거하는 반면, 표준 방법은 그러한 성능을 보이지 않는다.