[논문 리뷰] Divergence free Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일반 다각형 메esh에서 스토크스 문제를 위한 새로운 가상 요소 방법(Virtual Element Method, VEM)을 제안하며, 속도 근사에서 점별로 수렴하는 비압축성 조건을 강제하여 정확한 비압축성을 보장한다. 속도 유한요소 공간과 자유도를 철저히 구성함으로써, 압력 및 속도 자유도를 자동으로 제거함으로써 최적 수렴성과 자유도 수를 크게 감소시켜 기존 VEM 기법에 비해 매우 효율적이고 정확한 방법을 달성한다.

ABSTRACT

In the present paper we develop a new family of Virtual Elements for the Stokes problem on polygonal meshes. By a proper choice of the Virtual space of velocities and the associated degrees of freedom, we can guarantee that the final discrete velocity is pointwise divergence-free, and not only in a relaxed (projected) sense, as it happens for more standard elements. Moreover, we show that the discrete problem is immediately equivalent to a reduced problem with less degrees of freedom, thus yielding a very efficient scheme. We provide a rigorous error analysis of the method and several numerical tests, including a comparison with a different Virtual Element choice.

연구 동기 및 목표

• 일반 다각형 메쉬에서 점별로 수렴하는 비압축성 조건을 보장하는 스토크스 문제를 위한 가상 요소 방법을 개발한다.
• 기존 VEM 기법이 압력 조건을 투영된(약한) 의미에서만 강제함으로써 발생하는 한계를 극복한다.
• 속도 자유도와 압력 자유도 사이의 수직 조건을 통해 많은 자유도를 제거함으로써 계산 비용을 감소시킨다.
• 나비에-스토크스와 같은 복잡한 유동 문제에 적합한 안정성, 수렴성 및 계산 효율성이 뛰어난 방법을 제공한다.
• 엄밀한 오차 분석과 수치 벤치마킹을 통해 제안된 방법의 정확성과 효율성 우월성을 입증한다.

제안 방법

• 해결책의 커널이 투영된 의미가 아니라 점별로 수렴하는 비압축성 조건을 만족하는 속도 가상 요소 공간을 구성한다.
• 압력 자유도와 관련된 속도 자유도 사이의 수직 조건을 유도하기 위해 자유도를 철저히 선택한다.
• 이 수직 조건 덕분에 많은 자유도를 자동으로 제거할 수 있으며, 이로 인해 각 요소당 하나의 압력 자유도와 최소한의 내부 속도 자유도만을 포함하는 시스템으로 축소된다.
• 이산 문제를 축소된 시스템으로 재구성함으로써 계산 비용을 크게 낮추면서도 정확성을 유지한다.
• 이산 인프-소프 조건과 일致 오차 추정을 통해 안정성과 수렴성 분석을 수행한다.
• 완전한 및 축소된 방법과의 비교를 가능하게 하기 위해 압력 해를 재구성하기 위한 후처리 절차를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 다각형 메쉬에서 스토크스 문제에 대해 점별로 수렴하는 비압축성 조건을 보장하는 가상 요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 정확성이나 안정성에 손상이 가지 않도록 스토크스 문제의 VEM에서 자유도 수를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 일반 다각형 메쉬에서 비압축성 VEM의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 제안된 방법은 표준 VEM 기법을 스토크스 문제에 확장한 것과 비교해 정확성과 효율성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 축소된 수식은 원래 방법의 최적 수렴률을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 속도 및 압력 오차에 대해 이론적 기대와 일치하는 최적 수렴률 $ h^k $ 을 달성한다.
• 동일한 다항식 차수 $ k $ 에 대해, 특히 $ k=2 $ 와 $ k=3 $ 에서 모든 테스트 메쉬에서 표준 VEM 기법보다 오차가 크게 감소한다.
• 속도 및 압력 장의 오차는 메쉬 정밀도 향상에 따라 감소하며, 모든 메쉬 가족 $ \mathcal{V}_h $, $ \mathcal{T}_h $, 및 $ \mathcal{Q}_h $ 에서 이론적 수렴률을 확인한다.
• 완전한 해와 축소된 해 사이의 오차 측정치 $ \varepsilon(\mathbf{u}) $ 와 $ \varepsilon(p) $ 는 $ 10^{-13} $ 에서 $ 10^{-12} $ 수준이며, 두 수식이 동치임을 확인한다.
• 비균일 경계 조건이 존재하는 경우에도 최적 수렴성을 유지함을 고차 다항식을 포함한 정확한 해를 갖는 수치 실험을 통해 입증하였다.
• 자유도 자동 제거로 인해 각 요소당 하나의 압력 자유도와 최소한의 내부 속도 자유도만을 포함하는 시스템이 되었으며, 이는 계산 효율성 향상에 크게 기여한다.