[논문 리뷰] Divergence of Lubkin's series for a quantum subsystem's mean entropy

Jacob P. Dyer|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 22.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시스템 차원 $ m > 2 $ 에서 루브킨의 양자 부하의 평균 본 네umann 엔트로피에 대한 급수 전개가 발산함을 증명한다. 이는 근사가 渐近적으로 정확함에도 불구하고 그렇다. 정확한 폐쇄형 표현식을 통해 감소 밀도 행렬의 모멘트 평균을 유도함으로써, 저자들은 이 급수가 오직 $ m \leq 2 $ 일 때에만 수렴함을 보이며, 이는 이 이상의 경우에 신뢰할 수 있는 근사 방법으로서의 급수의 무효성을 입증한다.

ABSTRACT

In 1978, Lubkin proposed a method of approximating the mean von Neumann entropy for a subsystem of a finite-dimensional quantum system in an overall pure state by expanding the entropy as a series in terms of the mean trace of powers of the system's reduced density operator, but the convergence of this series was never established. We find an exact closed form expression for the mean traces, which enables us to prove that the series converges if and only if the system's dimension $m\le2$, in spite of the fact that Lubkin's proposed approximation for the entropy is now known to be correct.

연구 동기 및 목표

• Lubkin의 양자 부하의 평균 본 네umann 엔트로피에 대한 급수 전개의 수렴 행동을 엄밀히 분석하는 것.
• 특히 $ m > 2 $ 에서 Lubkin의 급수가 수렴하는지 여부에 대한 오랫동안 지속된 애매함을 해결하는 것.
• 감소 밀도 행렬의 모멘트 평균에 대한 정확한 폐쇄형 표현식을 유도하는 것.
• Lubkin의 급수가 발산하는 데도 그 엔트로피 근사가 정확한 데서 발생하는 명백한 모순을 해소하는 것.
• Page의 정확한 공식이 평균 엔트로피에 대해 타당한지 확인하고, Lubkin의 근사와 비교하는 것.

제안 방법

• 대칭 함수 이론과 기하급수 항등식을 사용하여 $ \langle \text{Tr}[(\hat{\rho}_m^{mn})^r] \rangle $ 의 정확한 폐쇄형 표현식을 유도한다.
• 하르 측도 하에서 감소 밀도 행렬의 공동 고유값 분포를 이용해 모멘트 방법을 적용한다.
• 베르드랑 행렬식과 디랙 델타 함수를 사용해 적분에서 정규화 및 고유값 제약 조건을 강제한다.
• Lubkin의 급수 수렴성을 판단하기 위해 평균 트레이스 항의 큰-$ r$ 점근적 행동을 평가한다.
• 조화수의 점근적 전개를 통해 발산하는 급수를 Page의 정확한 공식 $ \langle S_{m,n} \rangle = \sum_{k=n+1}^{mn} \frac{1}{k} - \frac{m-1}{2n} $ 과 비교한다.
• Lubkin의 근사에서 분모의 이항 전개를 수행하여 정확한 공식과의 오차 척도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lubkin의 평균 본 네umann 엔트로피에 대한 급수 전개는 모든 부하 차원 $ m $ 에서 수렴하는가?
• RQ2 임의의 $ r $ 에 대해 $ \langle \text{Tr}[(\hat{\rho}_m^{mn} - \hat{\rho}_0)^r] \rangle $ 의 정확한 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 Lubkin의 근사가 정확한 데도 그 급수가 발산하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 Lubkin의 근사에서의 오차 항은 Page의 정확한 공식의 오차 항과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 평균 엔트로피의 점근적 행동은 $ n \to \infty $ 일 때 어떻게 되며, 이는 근사의 타당성을 어떻게 뒷받침하는가?

주요 결과

• Lubkin의 평균 엔트로피 급수는 부하 차원 $ m \leq 2 $ 를 만족할 때에만 수렴하며, $ m > 2 $ 에서는 절대적으로 발산한다.
• 저자들은 임의의 실수 $ r $ 에 대해 $ \langle \text{Tr}[(\hat{\rho}_m^{mn})^r] \rangle $ 의 정확한 폐쇄형 표현식을 유도하였으며, 이는 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 발산은 $ r \to \infty $ 일 때 평균 트레이스 항의 점근적 성장에서 기인하며, 이는 팩토리얼적으로 증가하고 교대 급수를 지배한다.
• Page의 정확한 공식 $ \langle S_{m,n} \rangle = \sum_{k=n+1}^{mn} \frac{1}{k} - \frac{m-1}{2n} $ 이 확인되었으며, 점근적 근사 $ \langle S_{m,n} \rangle \simeq \ln m - \frac{m^2 - 1}{2mn} + \mathcal{O}(n^{-2}) $ 를 도출하는 데 사용된다.
• Lubkin의 근사 $ \langle S_{m,n} \rangle \simeq \ln m - \frac{m^2 - 1}{2mn + 2} $ 는 $ \mathcal{O}(n^{-2}) $ 의 오차를 가지며, 최적 근사보다 약 5배 큰 오차를 가진다.
• 최적 근사의 오차는 $ m = n \to \infty $ 일 때 $ \frac{1}{12} $ 에 수렴하며, 수치적 증거는 $ m = n = 100 $ 에서 최대 오차가 약 $ 0.083324 $ 에 도달함을 보여준다.