[논문 리뷰] Divergence of the multilevel Monte Carlo method

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 02.

Stochastic processes and financial applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 초선형적으로 증가하는 전역 일측 리프시츠 조건을 만족하는 비선형 SDE의 경우, 다중수준 몽테카를로 오일러 방법이 확률 1인 사건에서도 발산함을 보여준다—기존 몽테카를로 방법과는 달리. 이에 따라 다중수준 프레임워크 내에서 표준 오일러 스킴을 다듬어진 오일러 방법으로 대체함으로써 수렴성을 회복하면서도 높은 효율성을 유지하는 방법을 제안한다.

ABSTRACT

The Euler-Maruyama scheme is known to diverge strongly and numerically weakly when applied to nonlinear stochastic differential equations (SDEs) with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. Classical Monte Carlo simulations do, however, not suffer from this divergence behavior of Euler's method because this divergence behavior happens on rare events. Indeed, for such nonlinear SDEs the classical Monte Carlo Euler method has been shown to converge by exploiting that the Euler approximations diverge only on events whose probabilities decay to zero very rapidly. Significantly more efficient than the classical Monte Carlo Euler method is the recently introduced multilevel Monte Carlo Euler method. The main observation of this article is that this multilevel Monte Carlo Euler method does - in contrast to classical Monte Carlo methods - not converge in general in the case of such nonlinear SDEs. More precisely, we establish divergence of the multilevel Monte Carlo Euler method for a family of SDEs with superlinearly growing and globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients. In particular, the multilevel Monte Carlo Euler method diverges for these nonlinear SDEs on an event that is not at all rare but has probability one. As a consequence for applications, we recommend not to use the multilevel Monte Carlo Euler method for SDEs with superlinearly growing nonlinearities. Instead we propose to combine the multilevel Monte Carlo method with a slightly modified Euler method. More precisely, we show that the multilevel Monte Carlo method combined with a tamed Euler method converges for nonlinear SDEs with globally one-sided Lipschitz continuous drift coefficients and preserves its strikingly higher order convergence rate from the Lipschitz case.

연구 동기 및 목표

• 초선형적으로 증가하는 드리프트 계수를 가진 비선형 SDE에 대해 다중수준 몽테카를로 오일러 방법의 수렴 행동을 조사하는 것.
• 기존 몽테카를로 방법은 수렴하는 바에 비해 다중수준 몽테카를로 방법이 이러한 경우에 실패하는 이유를 규명하는 것.
• 다중수준 방법의 계산적 이점을 유지하면서도 수렴성을 보장하는 수정된 수치적 스킴을 제안하는 것.
• 일측 리프시츠 조건 하에서 다듬어진 오일러 스킴과 결합한 다중수준 몽테카를로 방법의 이론적 수렴성을 확립하는 것.

제안 방법

• 초선형적으로 증가하고 전역 일측 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트 계수를 가진 SDE의 가족에 대해 다중수준 몽테카를로 오일러 방법의 발산을 분석하는 것.
• 발산이 희귀 사건이 아니라 확률 1인 사건에서 발생함을 보여주는 것—기존 몽테카를로 방법과는 다름.
• 비선형 드리프트를 가진 SDE의 수치적 근사를 안정화하기 위해 다듬어진 오일러 방법을 도입하는 것.
• 다듬어진 오일러 방법을 다중수준 몽테카를로 프레임워크와 결합하여 수렴성을 보장하는 것.
• 결과적으로 얻어진 방법이 리프시츠 조건에서 관찰된 고차수 수렴 속도를 유지함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형적으로 증가하고 전역 일측 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트 계수를 가진 SDE에 대해 다중수준 몽테카를로 오일러 방법이 수렴하는가?
• RQ2 기존 몽테카를로 방법은 수렴하는 바에 비해 다중수준 몽테카를로 오일러 방법이 이러한 경우에 발산하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 기본 수치적 스킴을 수정함으로써 이러한 비선형 SDE에 대해 다중수준 몽테카를로 방법을 복구할 수 있는가?
• RQ4 다듬어진 오일러 방법과 다중수준 몽테카를로 방법을 조합했을 때, 리프시츠 조건에서 관찰된 높은 수렴 속도를 유지하는가?

주요 결과

• 초선형적으로 증가하고 전역 일측 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트 계수를 가진 SDE에 대해 다중수준 몽테카를로 오일러 방법은 확률 1인 사건에서 발산한다.
• 이 발산은 기존 몽테카를로 방법과 달리 희귀 사건에 국한되지 않으며, 수치적 불안정성이 일반적인 경우에 발생함을 의미한다.
• 따라서 표준 다중수준 몽테카를로 오일러 방법은 이러한 비선형 SDE에 대해 신뢰할 수 없다.
• 표준 오일러 스킴을 다듬어진 오일러 방법으로 대체함으로써 다중수준 몽테카를로 프레임워크 내에서 수렴성이 복구된다.
• 결과적으로 얻어진 방법은 리프시츠 조건에서 관찰된 다중수준 몽테카를로 방법의 높은 수렴 속도를 유지한다.