[논문 리뷰] Diverging sequences of unit volume invariant metrics with bounded curvature

Francesco Pediconi|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유닛 부피 G-불변 리만 계량이 컴act, 연결, 거의 효과적인 동차 공간 G/H에서 수렴하지 않는 수열에 대해, 유계 곡률을 가진다. 이는 이러한 수열이 점점 더 중간 부분군 K가 K/H가 원환면이 되는 피브레이션 구조에 수렴해야 한다는 것을 증명하며, 이는 0-팔라이스-스모스 수열에 관한 이전 결과를 일반화하고, 동차 원환면 배ndl의 존재에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We study 1-parameter families in the space $\\mathscr{M}^G_1$ of $G$-invariant, unit volume metrics on a given compact, connected, almost-effective homogeneous space $M=G/H$. In particular, we focus on diverging sequences, i.e. which are not contained in any compact subset of $\\mathscr{M}^G_1$, and we prove some structure results for those which have bounded curvature. We also relate our results to an algebraic version of collapse.

연구 동기 및 목표

• 수렴하지 않는 유닛 부피 G-불변 계량 수열의 기하학적 및 대수적 구조를 이해한다.
• [7, Thm 2.1]을 일반화하기 위해 추적 없는 리치 텐서가 0이 되어야 한다는 조건을 제거한다.
• 수렴하지 않는 0-팔라이스-스모스 수열이 동차 원환면 배ndl의 존재를 암시한다는 추측을 확인한다.
• 수렴하는 수열의 순수 대수적이고 구성적인 특성화를 수축하는 고유값의 고유공간을 통해 수립한다.
• 이러한 수열의 기하학적 행동이 수축하는 섬유를 가진 서브미션 유형의 피브레이션과 어떻게 관련되어 있는지 밝힌다.

제안 방법

• 공간 M^G_1 내에서 1-매개변수 가중치 G-불변 유닛 부피 계량의 가중치를 분석한다.
• 수렴 수열에서 수축하는 고유값과 관련된 고유공간의 합이 중간 리 대수 l ⊂ g 내에서 h = Lie(H)에 대한 재수화 보완이 됨을 식별한다.
• H ⊂ L ⊂ G를 만족하는 엄밀한 중간 리 군 L을 구성하며, 이는 닫히지 않을 수 있으나, 그 폐쇄 K = L̄ 는 K/H 가 원환면이 되게 한다.
• 곡률 유계 |sec(g^(n))| ≤ C 를 사용하여 계량 수열의 점근적 행동을 통제한다.
• [6]에서 얻은 추정식 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g 를 적용하여 Ric^o → 0 인 수열이 유계 곡률을 가짐을 보인다.
• 수열이 점점 더 L/H → G/H → G/L 피브레이션에서 서브미션 유형의 계량에 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 컴 pact 동차 공간 G/H 에서 유계 곡률을 가진 수렴하지 않는 유닛 부피 G-불변 계량 수열이 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 수렴하지 않는 수열이 존재하기 위해 G의 리 대수에 있어 어떤 대수적 구조가 필요한가?
• RQ3 유계 곡률을 가진 수렴하지 않는 수열의 존재는 K/H 가 원환면이 되는 중간 부분군 K 의 존재를 암시하는가?
• RQ4 이러한 수열의 점근적 행동은 동차 피브레이션 G/H 에서 리만 서브미션 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 유계 곡률 가정 하에 G/H 가 동차 원환면 배ndl임을 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 유계 곡률를 가진 수렴하지 않는 수열 (g^(n)) ⊂ M^G_1 은 수축하는 고유값과 관련된 고유공간의 합이 중간 리 대수 l ⊂ g 내에서 h 에 대한 재수화 보완이 되어야 한다.
• 이는 H ⊂ L ⊂ G 를 만족하는 엄밀한 중간 리 군 L 이 존재하게 하며, 그 폐쇄 K = L̄ 는 K/H 가 원환면이 되게 한다.
• 수열 (g^(n)) 은 점점 더 L/H → G/H → G/L 피브레이션에서 서브미션 유형의 계량에 수렴하며, 섬유가 n → ∞ 에서 수축한다.
• 이 결과는 추적 없는 리치 텐서가 0이 되어야 한다는 조건을 제거함으로써 [7, Thm 2.1]을 일반화한다.
• 곡률 추정식 |Rm(g)|_g ≤ C|Ric(g)|_g 는 0-팔라이스-스모스 수열 (scal(g^(n)) → 0, |Ric^o(g^(n))| → 0) 이 유계 곡률을 가지며 따라서 정리 A 의 범위에 포함됨을 보장한다.
• 유계 곡률 가정 하에 [7, p. 697]의 추측, 즉 G/H 는 동차 원환면 배ndl임이 확인된다.