[논문 리뷰] Dividing by zero - how bad is it, really?

Takayuki Kihara, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Weihrauch 감소를 통해 잔여 나눗셈—나눗셈의 나눗셈이 0일 수 있는 경우에도 몫을 계산하는 것—의 계산적 강도를 조사한다. 이는 중첩 깊이 2인 순차적 사용이 전체 계산적 능력을 달성하는 데 충분함을 보여주며, 계산 분석 분야의 열린 문제를 해결하고 고전적 소거법과 같은 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In computable analysis testing a real number for being zero is a fundamental example of a non-computable task. This causes problems for division: We cannot ensure that the number we want to divide by is not zero. In many cases, any real number would be an acceptable outcome if the divisor is zero - but even this cannot be done in a computable way. In this note we investigate the strength of the computational problem "Robust division": Given a pair of real numbers, the first not greater than the other, output their quotient if well-defined and any real number else. The formal framework is provided by Weihrauch reducibility. One particular result is that having later calls to the problem depending on the outcomes of earlier ones is strictly more powerful than performing all calls concurrently. However, having a nesting depths of two already provides the full power. This solves an open problem raised at a recent Dagstuhl meeting on Weihrauch reducibility. As application for "Robust division", we show that it suffices to execute Gaussian elimination.

연구 동기 및 목표

• 0으로 나누는 경우 실패하는 대신 어떤 실수를 반환하는 잔여 나눗셈의 계산적 강도를 결정하는 것.
• Weihrauch 감소의 맥락에서 다중 잔여 나눗셈 호출 간의 상호작용에 관한 열린 문제를 해결하는 것.
• 잔여 나눗셈을 사용하여 고전적 소거법을 통해 선형 방정식계를 해결할 수 있음을 보여주는 것.
• LLPO 및 LPO와 같은 고전적 비구성적 원리와의 계층 구조를 명확히 하는 것.
• 계산 분석에서 잔여 나눗셈의 순차적 사용과 병렬 사용 중 어느 것이 더 강력한지 조사하는 것.

제안 방법

• Weihrauch 감소를 사용하여 잔여 나눗셈의 계산적 능력과 다른 원리 간의 공식적 비교를 수행한다.
• 나눗셈의 나눗셈이 0일 경우 어떤 실수도 출력하는 다가우 함수로 잔여 나눗셈을 모델링한다.
• 실수 위에서의 계산 가능성을 Type-2 기계를 사용하여 표현된 공간과 실현자(realizers)를 활용해 공식화한다.
• 피벗 계수를 계산할 때 값이 0이더라도 잔여 나눗셈을 사용함으로써 고전적 소거법을 잔여 나눗셈으로 감소시킨다.
• 피벗 선택 원칙을 적용하여 절댓값이 가장 큰 피벗을 선택함으로써 잔여 나눗셈으로의 계산 가능 감소를 보장한다.
• 소거 과정 중 경우의 수와 부호 정보를 다루기 위해 보조 함수 C_{–} 및 AoUC를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Weihrauch 감소에서 순차적 사용이 병렬 사용보다 엄격히 더 강력한가?
• RQ2 전체 계산적 능력을 달성하기 위해 필요한 잔여 나눗셈의 최소 중첩 깊이는 얼마인가?
• RQ3 잔여 나눗셈을 사용하여 LU 분해를 계산하고 고전적 소거법을 통해 선형 시스템을 해결할 수 있는가?
• RQ4 Weihrauch 격자에서 잔여 나눗셈은 LLPO 및 LPO와 비교해 어떤 정도의 강도를 가지는가?
• RQ5 피벗 선택이 포함된 LU 분해 문제는 잔여 나눗셈으로 감소 가능한가?

주요 결과

• 잔여 나눗셈은 LLPO 및 LPO보다 엄격히 강력하여 Weihrauch 격자에서 별개의 중간 위치에 위치한다.
• 잔여 나눗셈을 중첩 깊이 2로 순차적으로 사용하는 것으로 전체 계산적 능력을 달성하는 데 충분하다.
• 잔여 나눗셈은 고전적 소거법을 통한 선형 방정식계 해결 문제와 동치이다.
• 피벗 선택이 포함된 문제 LU-Decomp_{P,Q}는 rDiv*와 Weihrauch 동치이며, LU-Decomp_Q는 rDiv* 별개의 rDiv*로 감소 가능하다.
• 고전적 소거법을 잔여 나눗셈으로 감소시키는 과정은 효과적이고 계산 가능하며, 피벗 항목이 0일 경우에도 성립한다.
• B(ε)를 포함한 반례는 LU 분해가 잔여 나눗셈으로부터 임의의 실수 값을 추출할 수 있음을 보여주며, 이는 비트리비얼한 계산적 강도를 확인한다.