[논문 리뷰] Division by three

Peter G. Doyle, John H. Conway|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 31.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 선택공리에 의존하지 않고, 3×A와 3×B 사이에 전단사가 존재하면 A와 B 사이에도 전단사가 존재함을 증명한다. 증명은 1926년 린덴바움이 제시한 원래의 논증을 재구성하고 검증하며, 집합론에서의 3으로 나누기 문제에 대해 구성적이고 선택공리 없는 해법을 제공한다.

ABSTRACT

We prove without appeal to the Axiom of Choice that for any sets A and B, if there is a one-to-one correspondence between 3 cross A and 3 cross B then there is a one-to-one correspondence between A and B. The first such proof, due to Lindenbaum, was announced by Lindenbaum and Tarski in 1926, and subsequently `lost'; Tarski published an alternative proof in 1949. We argue that the proof presented here follows Lindenbaum's original.

연구 동기 및 목표

• 선택공리를 사용하지 않고 3×A ≅ 3×B이면 A ≅ B임을 증명함으로써 집합론의 기본 문제를 해결하는 것.
• 공지되었지만 완전히 보존되지 않은 린덴바움의 원래 증명을 재구성하고 검증하는 것.
• 타르스키의 1949년 증명에 대한 구성적 대안을 제공하여 논리적 명확성과 기초 순수성을 강조하는 것.
• 3×A와 3×B 사이의 전단사가 A와 B 사이의 전단사로 환원될 수 있음을, 단지 기본적인 집합론적 추론을 통해 보여주는 것.

제안 방법

• 서로소 합집합의 집합 간 함수의 구조에 기반한 조합론적 추론을 사용한다.
• 3×A와 3×B의 구조를 재귀적으로 분해하여 A와 B 사이의 일치하는 성분을 식별한다.
• 요소들이 세 번째 복사본을 통해 어떻게 이동하는지를 추적하는 매칭 알고리즘을 적용하여 일对일 대응을 확립한다.
• 3×A와 3×B 사이의 전단사의 존재를 바탕으로 A와 B의 원소들 위에 순열 유사한 구조를 유도한다.
• 3×A에서 3×B로의 매핑에 의해 유도된 원소의 궤도를 분석하여 A와 B 사이의 전단사를 구성한다.
• 주어진 전단사에 기반한 명시적이고 정의 가능한 구성만을 사용함으로써 선택공리를 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택공리를 사용하지 않고 3×A와 3×B의 크기가 같다는 사실이 A와 B의 크기가 같다는 것을 의미할 수 있는가?
• RQ2 린덴바움의 원래 증명의 논리적 구조는 무엇이며, 엄밀한 정밀도로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 주어진 3×A와 3×B 사이의 전단사로부터 A와 B 사이의 전단사를 구성적이고 선택공리 없는 방법으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 선택공리의 사용 여부와 복잡성 측면에서 이 증명은 타르스키의 1949년 접근과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 3×A와 3×B 사이의 전단사가 존재하면 선택공리를 요구하지 않고도 A와 B 사이의 전단사가 존재한다.
• 논문은 린덴바움이 1926년에 발표했지만 이후 손실된 원래의 논증을 재구성하고 검증한다.
• 구성은 완전히 명시적이고 조합론적이며, 주어진 전단사와 집합론적 연산에만 의존한다.
• 세 번째 복사본에 대한 궤도 분해와 재귀적 매칭을 사용함으로써 비구성적 원리를 피한다.
• 결과적으로 Zermelo-Fraenkel 집합론에서 선택공리 없이도 주어진 조건 하에 3으로 나누기가 가능하다는 것이 확인된다.
• 이 증명은 유한 곱의 구조를 이용해 대칭성과 순열 분석을 통해 원래의 집합을 복원할 수 있음을 보여준다.