[논문 리뷰] Dolbeault cohomologies of blowing up complex manifolds

Sheng Rao, Song Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상대 도르베올 코homology를 도입함으로써 컴acts한 복소다양체의 도르베올 코homology에 대한 붕괴 공식을 수립한다. 이에 따라 블로우업 공간 ˜X의 도르베올 코homology는 원래 코homology와 중심에서의 변형된 코homology의 직합과 동형임을 증명한다. 핵심 결과는 Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z)이며, 이는 (p,0) 및 (0,q)-호지 수의 비메르모르픽 불변성과 함께, 컴acts한 복소다양체 3차원 및 4차원에서의 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 붕괴 안정성을 암시한다.

ABSTRACT

We prove a blow-up formula for Dolbeault cohomologies of compact complex manifolds by introducing relative Dolbeault cohomology. As corollaries, we present a uniform proof for bimeromorphic invariance of $(\bullet,0)$- and $(0,\bullet)$-Hodge numbers on a compact complex manifold, and obtain the equality for the numbers of the blow-ups and blow-downs in the weak factorization of the bimeromorphic map between two compact complex manifolds with equal $(1,1)$-Hodge number or equivalently second Betti number. Many examples of the latter one are listed. Inspired by these, we obtain the bimeromorphic stability for degeneracy of the Frölicher spectral sequences at $E_1$ on compact complex threefolds and fourfolds.

연구 동기 및 목표

• . 컴팩트한 복소다양체의 도르베올 코hom로지에 대한 블로우업 공식을 상대 도르베올 코hom로지의 도입을 통해 수립한다.
• . 컴팩트한 복소다양체에 대해 (p,0) 및 (0,q)-호지 수의 비메르모르픽 불변성을 통일적으로 증명한다.
• . 블로우업 연산과 호지 수 사이의 관계를 약한 인수분해의 맥락에서 분석한다.
• . 컴팩트한 복소다양체 3차원 및 4차원에서 비메르모르픽 사상 하에서의 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 붕괴를 조사한다.
• . 복소기하에서의 변형 하에서 코hom로지 불변량을 이해하는 통일된 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• . 블로우업에 따른 코hom로지 변화를 분석하기 위해 Hp,q(¯∂; X, Z)로 표현되는 상대 도르베올 코hom로지를 도입한다.
• . 코더로의 히르슈 보조정리를 적용하여 도르베올 코hom로지에 대한 블로우업 공식을 유도한다.
• . 드 라함 복합체의 짧은 정확열 시퀀스의 가환도형을 이용하여 X, ˜X, Z, E의 코hom로지를 연결한다.
• . H•_dR,c(U) ≅ H•_dR(X,Z)의 동형과 컴팩트 지지 형식의 준동형성을 활용하여 코hom로지를 연결한다.
• . 레라이라-히르슈 정리를 활용하여 예외적 인자 E의 코hom로지를 H•_dR(Z) 위의 자유 모듈로, 기저 {1, t, ..., tr−1}를 가짐으로써 묘사한다.
• . [54, 정리 3.1]을 통해 π∗가 드 라함 코hom로지에 대해 단사임을 이용하여 드 라함 케이스의 직합 분해를 유도하며, 이는 도르베올 사례에 대한 정보를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 컴팩트한 복소다양체의 도르베올 코hom로지가 비메르모르픽 사상, 특히 블로우업에 대해 유지되는가?
• RQ2 . (p,0)-호지 수 hp,0는 컴팩트한 복소다양체에 대해 비메르모르픽 불변량인가?
• RQ3 . 컴팩트한 복소다양체 3차원 및 4차원에서 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스의 E1에서의 붕괴가 비메르모르픽 변환 하에서도 유지되는가?
• RQ4 . 상대 코hom로지와 히르슈 유형 보조정리를 이용하여 도르베올 코호모로지에 대한 블로우업 공식을 통일적으로 도출할 수 있는가?
• RQ5 . 두 비메르모르픽적으로 동치인 컴팩트한 복소다양체의 호지 수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• . 도르베올 코호모로지에 대한 블로우업 공식이 수립된다: r ≥ 2인 매끄러운 중심에 沿해 블로우업한 경우, Hp,q(˜X) ≅ Hp,q(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hp−i,q−i(Z).
• . (p,0)- 및 (0,q)-호지 수는 비메르모르픽 불변량이며, 이는 고전적인 이 결과에 대한 통일된 증명을 제공한다.
• . 두 컴팩트한 복소다양체 간의 비메르모르픽 사상에 대한 약한 인수분해에서, 블로우업과 블로우다운의 수는 동일하다.
• . 컴팩트한 복소다양체 3차원 및 4차원에서 비메르모르픽 사상 하에서 프뢰리히 스펙트럴 시퀀스는 E1에서 붕괴한다.
• . 블로우업 사상 π에 의해 상대 도르베올 코호모로지 Hp,q(¯∂; X, Z) ≅ Hp,q(¯∂; ˜X, E)를 만족한다.
• . 드 라함 블로우업 공식은 부산물로 회복되며, 이는 Hk_dR(˜X) ≅ Hk_dR(X) ⊕ ⨁_{i=1}^{r−1} Hk−2i_dR(Z)의 동형을 확인한다.