[논문 리뷰] Domain Theory: An Introduction

Robert Cartwright, Rebecca J. Parsons외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 19.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 기저(기저가 유한한 집합의 일관된 부분집합에서 상한에 대해 닫혀 있는)를 사용하여 도메인 이론의 개선되고 접근하기 쉬운 공식화를 제시한다. 이는 프로그래밍 언어에서 계산 데이터 값, 연산, 그리고 재귀를 모델링하기 위한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 고차원 계산, 고정점, 그리고 유형 있는 람다 계산의 의미론을 보편 도메인으로의 사영을 통해 통합적이고 효과적으로 표현할 수 있는 도메인의 통합적이고 효과적인 표현이다.

ABSTRACT

This monograph is an ongoing revision of "Lectures On A Mathematical Theory of Computation" by Dana Scott. Scott's monograph uses a formulation of domains called neighborhood systems in which finite elements are selected subsets of a master set of objects called "tokens". Since tokens have little intuitive significance, Scott has discarded neighborhood systems in favor of an equivalent formulation of domains called information systems. Unfortunately, he has not rewritten his monograph to reflect this change. We have rewritten Scott's monograph in terms of finitary bases instead of information systems. A finitary basis is an information system that is closed under least upper bounds on finite consistent subsets. This convention ensures that every finite answer is represented by a single basis object instead of a set of objects.

연구 동기 및 목표

• 구식의 이웃 집합 시스템 대신 기저를 사용하여 도메인 이론의 현대적이고 접근 가능한 공식화를 제공하는 것.
• 무한, 부분적으로 정의된, 유한 최대 데이터 값을 통합된 계산 프레임워크 안에서 모델링하기 위한 기반을 마련하는 것.
• 도메인 생성자(곱, 함수 공간)와 재귀 정의가 근사 가능 매핑과 사영을 통해 어떻게 형식화될 수 있는지 보여주는 것.
• 모든 계산 가능한 함수와 구성 요소가 효과적인 표현을 통해 보편 도메인 내에 임bedded될 수 있음을 보여주는 것.
• 효과적인 도메인 생성자를 통해 계산 가능성과 고정점 성질을 보장함으로써 고차원 프로그래밍 언어의 의미론을 지원하는 것.

제안 방법

• 정보 시스템이나 이웃 집합 시스템 대신 기저를 사용하여 다나 스코트의 원래 도메인 이론을 재구성함으로써, 모든 유한한 데이터 값이 단일 기저 원소로 표현되도록 보장한다.
• 유한 원소들이 무한한 값의 근사치를 나타내는 가 countable, 방향 완비인 기저를 갖는 완비 부분순서집합(CPO)으로 도메인을 정의한다.
• 근사 가능 매핑과 연속 함수를 도메인 간의 핵심 사상으로 정의하여 근사 순서와 최소 상한을 유지한다.
• 범주론적 구성 방법을 통해 도메인 생성자(곱, 함수 공간)를 구성하고, 재구성과 사영을 사용하여 그 계산 가능성을 증명한다.
• 모든 계산 가능한 원소를 수용하는 보편 도메인 𝒰를 정의하고, 모든 도메인을 기저 사영을 통해 부분도메인으로 포함시킨다.
• 형식적 타입 매핑과 사영 기반의 동형을 사용하여 유형 있는 람다 계산을 보편 도메인으로 번역함으로써 의미론과 계산 가능성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 도메인 이론을 이웃 집합 시스템과 같은 추상적이고 직관적이지 않은 구조에 의존하지 않도록 재구성할 수 있는가?
• RQ2 기저는 어떻게 유한한 데이터 값과 그 근사치의 효과적이고 표준적인 표현을 보장하는가?
• RQ3 곱과 함수 공간과 같은 도메인 생성자가 통합된 프레임워크 내에서 어떻게 정의되고 계산 가능성이 증명될 수 있는가?
• RQ4 모든 계산 가능한 함수와 재귀 정의가 효과적인 표현을 통해 단일 보편 도메인 내에 포괄될 수 있는가?
• RQ5 형식적 타입의 구조와 계산 가능성을 유지하면서 유형 있는 람다 계산의 의미론을 보편 도메인에 임베딩할 수 있는가?

주요 결과

• 기저는 정보 시스템과 이웃 집합 시스템보다 더 직관적이고 효과적인 대안을 제공하며, 모든 유한한 데이터 값이 단일 기저 객체로 표현됨을 보장한다.
• 보편 도메인 𝒰는 모든 계산 가능한 원소를 수용하며, 모든 효과적으로 표현된 도메인의 실체가 되며, 모든 도메인이 기저 사영을 통해 부분도메인으로 포함된다.
• 모든 도메인 생성자—곱, 함수 공간, 다항 조합—이 보편 도메인 위의 사영에 대한 계산 가능한 조합자임이 입증된다.
• 재귀 정의와 고정점은 표준 고정점 방법을 통해 포괄되며, 모든 계산 가능한 사상이 계산 가능한 고정점을 갖는 것으로 보장된다.
• 형식적 타입 기반의 동형을 사용하여 유형 있는 람다 계산이 보편 도메인에 완전히 임베딩될 수 있으며, 타입과 의미론이 유지된다.
• 도메인의 효과적인 표현은 계산 가능한 원소가 보편 도메인의 효과적으로 표현된 부분도메인과 정확히 일치함을 보장한다.