[논문 리뷰] Domination number of middle graphs

Farshad Kazemnejad, Behnaz Pahlavsay외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 07.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중간 그래프의 지배 수를 조사하여 원래 그래프의 순서에 따라 날카로운 경계를 설정하고, 별, 사이클, 휠, 우정 그래프와 같은 주요 가족에 대해 정확한 값을 계산한다. 또한 그래프와 그 여부 중간 그래프의 지배 수의 합과 곱에 대한 날카로운 노르도우스-가드엄 유형 부등식을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the domination number of middle graphs. Indeed, we obtain tight bounds for this number in terms of the order of the graph. We also compute the domination number of some families of graphs such as star graphs, double start graphs, path graphs, cycle graphs, wheel graphs, complete graphs, complete bipartite graphs and friendship graphs, explicitly. Moreover, some Nordhaus-Gaddum-like relations are presented for the domination number of middle graphs.

연구 동기 및 목표

• 원래 그래프의 순서에 따라 중간 그래프의 지배 수에 대한 날카로운 상한과 하한을 결정하기 위해.
• 별, 더블 스타, 경로, 사이클, 휠, 완전 그래프, 완전 이분 그래프, 그리고 우정 그래프와 같은 특정 그래프 가족에 대해 정확한 지배 수를 계산하기 위해.
• 중간 그래프와 그 여부에 대한 지배 수에 대한 노르도우스-가드엄 유형 관계를 수립하기 위해.
• 중간 그래프의 지배 수를 원래 그래프의 간선 커버 수와 연결하기 위해.

제안 방법

• 레마 2.1을 활용하여 M(G)의 임의의 지배 집합을 E(G)에 완전히 포함된 집합으로 변환할 수 있음을 보여, 분석을 단순화한다.
• 레마 2.2를 적용하여 정점 제거 기반의 재귀적 경계를 도출하고, γ(M(G))를 γ(M(G\v))와 관련지어 분석한다.
• 정리 2.7을 활용하여 고립 정점이 없는 순서 n인 그래프에 대해 γ(M(G)) ≥ ⌈n/2⌉의 하한을 확립한다.
• 특정 그래프 가족에 대해 구조적 분석과 케이스별 계산을 통해 γ(M(G))의 정확한 값을 도출한다.
• 선 그래프와 유도 부분그래프의 지배 수에 관한 기존 결과를 활용하여 M(G)에 대한 경계를 도출한다.
• G와 Ḡ 둘 다 고립 정점이 없음을 가정할 때, γ(M(G))와 γ(M(Ḡ))의 경계를 조합하여 노르도우스-가드엄 유형 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G의 순서 n에 따라 중간 그래프 M(G)의 지배 수에 대한 날카로운 상한과 하한은 무엇인가요?
• RQ2 별, 사이클, 휠, 그리고 우정 그래프와 같은 기본적인 그래프 가족에 대해 M(G)의 정확한 지배 수 γ(M(G))는 무엇인가요?
• RQ3 M(G)와 M(Ḡ)의 지배 수는 어떻게 상호 관련되어 있으며, 그 합과 곱에 대한 최적의 경계는 무엇인가요?
• RQ4 M(G)의 지배 수는 원래 그래프의 간선 커버 수와 같은 다른 그래프 불변량과 관련지을 수 있는가요?

주요 결과

• 순서 n ≥ 2이고 고립 정점이 없는 임의의 그래프 G에 대해 중간 그래프 M(G)의 지배 수는 ⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) ≤ n−2 를 만족한다.
• 별 그래프 K₁,n에 대해 그 중간 그래프의 지배 수는 정확히 n이며, 즉 γ(M(K₁,n)) = n 이다.
• 완전 그래프 Kₙ에 대해 그 중간 그래프의 지배 수는 γ(M(Kₙ)) = ⌈n/2⌉ 이다.
• n₁ ≤ n₂ 인 완전 이분 그래프 Kₙ₁,ₙ₂에 대해 그 중간 그래프의 지배 수는 정확히 n₂이며, 즉 γ(M(Kₙ₁,ₙ₂)) = n₂ 이다.
• 우정 그래프 Fₙ에 대해 그 중간 그래프의 지배 수는 n+1이며, 즉 γ(M(Fₙ)) = n+1 이다.
• M(G)와 M(Ḡ)에 대한 노르도우스-가드엄 유형 부등식은 날카롭다: 2⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) + γ(M(Ḡ)) ≤ 2(n−2) 와 (⌈n/2⌉)² ≤ γ(M(G))·γ(M(Ḡ)) ≤ (n−2)² 이며, C₄ 및 기타 그래프에서 등호가 성립한다.