[논문 리뷰] Domination subdivision and domination multisubdivision numbers of graphs

Magda Dettlaff, Joanna Raczek외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 04.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 도미네이션 다중분할 수(msd(G))를 도미네이션 분할 수(sd(G))의 개선된 형태로 도입하여, 모든 그래프에 대해 msd(G) ≤ 3임을 증명하고, 나무에 대해서는 msd(G) = sd(G)임을 보였다. 이는 이분 그래프에 대해서도 도미네이션 분할 결정 문제의 NP-완전성을 입증하며, 지지 정점과 경로 연장과 같은 구조적 연산을 통해 msd(T) = 1 및 msd(T) = 3인 나무를 특성화한다.

ABSTRACT

The \emph{domination subdivision number} sd$(G)$ of a graph $G$ is the minimum number of edges that must be subdivided (where an edge can be subdivided at most once) in order to increase the domination number of $G$. It has been shown \cite{vel} that sd$(T)\leq 3$ for any tree $T$. We prove that the decision problem of the domination subdivision number is NP-complete even for bipartite graphs. For this reason we define the \emph{domination multisubdivision number} of a nonempty graph $G$ as a minimum positive integer $k$ such that there exists an edge which must be subdivided $k$ times to increase the domination number of $G$. We show that msd$(G)\leq 3$ for any graph $G$. The domination subdivision number and the domination multisubdivision numer of a graph are incomparable in general case, but we show that for trees these two parameters are equal. We also determine domination multisubdivision number for some classes of graphs.

연구 동기 및 목표

• 도미네이션 분할 수 문제의 계산적 비가역성을 해결하기 위해 도미네이션 다중분할 수(msd(G))라는 새로운 매개변수를 도입한다.
• sd(G)의 결정 문제는 이분 그래프로 제한된 경우에도 NP-완전함을 증명한다.
• 모든 간선이 하나 이상 존재하는 연결 그래프 G에 대해 msd(G) ≤ 3임을 입증한다.
• 구조적 그래프 연산을 사용하여 msd(T) = 1 및 msd(T) = 3인 나무를 특성화한다.
• 나무에 대해서는 msd(T) = sd(T)임을 보여주어 두 매개변수 간의 관계를 해결한다.

제안 방법

• msd(G)를 정의하여, 어떤 간선을 k번 분할했을 때 도미네이션 수가 증가하는 최소 k값으로 정의한다.
• NP-완전성을 입증하기 위해 3-SAT에서 다항식 시간 감소를 구성한다.
• msd(T) = 3인 나무를 특성화하기 위해 두 가지 연산 T1과 T2를 사용하여 단일 정점에서 시작하는 나무의 집합 F를 도입한다.
• 경로와 지지 정점의 구조적 분석을 통해 msd(T) = 3인 나무는 반드시 집합 F에 속해야 한다는 것을 증명한다.
• 정점 수에 대한 귀납법을 적용하여 msd(T) = 3인 나무가 T1과 T2 연산으로 생성됨을 보여준다.
• 개인 이웃과 도미네이션 집합의 성질을 활용하여 고차수 간선 분할이 도미네이션 수를 유지하거나 증가시킨다는 것을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이분 그래프에 대해서도 도미네이션 분할 수 결정 문제는 NP-완전한가?
• RQ2 모든 그래프에서 도미네이션 다중분할 수의 최대 가능한 값은 얼마인가?
• RQ3 어떤 나무에서 msd(T) = 1이며, 이를 특성화하는 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ4 나무에서 도미네이션 다중분할 수와 도미네이션 분할 수는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 모든 msd(T) = 3인 나무는 유한한 그래프 연산 집합으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 도미네이션 분할 수 결정 문제는 이분 그래프로 제한된 경우에도 NP-완전하다.
• 모든 간선이 하나 이상 존재하는 연결 그래프 G에 대해 도미네이션 다중분할 수 msd(G)는 최대 3이다.
• 모든 나무 T에 대해 도미네이션 다중분할 수 msd(T)는 도미네이션 분할 수 sd(T)와 같다.
• msd(T) = 1인 나무는 최소 도미네이션 집합에 속하지 않는 잎 또는 모든 최소 도미네이션 집합에서 외부에 있는 두 정점으로 이루어진 간선을 가진다.
• msd(T) = 3인 나무는 길이 2인 경로에서 시작하여 T1과 T2 연산을 반복하여 생성할 수 있는 나무들이다.
• msd(T) = 3인 나무의 집합 F는 T1과 T2 연산에 대해 닫혀 있으며, 모든 이러한 나무는 이러한 연산을 통해 생성된다.