[논문 리뷰] Dominator Colorings of Digraphs

Michael Cary|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 방향성 그래프(digraphs)에 대한 지배자 색칠을 도입하며, 경로와 사이클의 모든 방향화에 대해 최소 지배자 색칠 수를 확립한다. 이는 표준 색칠 직관과 배치되는 바, 부분그래프의 지배자 색칠 수가 그 초과그래프보다 클 수 있음을 드러내며, 방향성으로 인한 지배자 수와 색칠 수의 괴리도 측정하는 새로운 불변량 $\varsigma^\star(D)$를 도입한다.

ABSTRACT

This paper serves as the first extension of the topic of dominator colorings of graphs to the setting of digraphs. We establish the dominator chromatic number over all possible orientations of paths and cycles. In this endeavor we discover that there are infinitely many counterexamples of a graph and subgraph pair for which the subgraph has a larger dominator chromatic number than the larger graph into which it embeds. Finally, a new graph invariant measuring the difference between the dominator chromatic number of a graph and the chromatic number of that graph is established and studied. The paper concludes with some of the possible avenues for extending this line of research.

연구 동기 및 목표

• 비방향 그래프에서의 지배자 색칠 개념을 방향성 그래프(digraphs)로 확장하는 것.
• 주어진 그래프 구조의 모든 가능한 방향화에 대해 최소 지배자 색칠 수 $\chi_d(D)$ 를 결정하는 것.
• 지배자 색칠 수가 부분digraph에서 초과그래프보다 클 수 있는지 조사하여, 표준 색칠의 단조성과 도전하는 것.
• 새로운 그래프 불변량 $\varsigma^\star(D)$ 를 정의하고 연구하며, 기저 비방향 그래프의 모든 방향화에서 $\chi_d(D)$ 와 $\chi(G_D)$ 의 최대 차이를 측정하는 것.
• 지배자 색칠의 방향성 그래프에 대한 열린 문제와 향후 연구 방향을 규명하는 것.

제안 방법

• 방향성 그래프 $D$ 의 지배자 색칠을, 모든 정점이 간선을 통해 어떤 색 클래스를 지배하는 적절한 정점 색칠로 정의한다.
• $\chi_d(D)$ 는 기저 비방향 그래프 $G_D$ 의 모든 방향화에 대해 지배자 색칠에서 사용되는 최소 색 클래스 수를 나타낸다.
• 지향된 경로 $P_n$ 과 지향된 사이클 $C_n$ 을 분석하여, 그들의 출도 수열을 특성화하고 최적의 색칠을 식별한다.
• $\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$ 를 증명하여, 부분그래프가 초과그래프보다 더 큰 지배자 색칠 수를 가질 수 있음을 보여준다.
• 불변량 $\varsigma(D) = \chi_d(D) - \chi(G_D)$ 와 그 최대 형태인 $\varsigma^\star(D) = \max\{\varsigma(D)\}$ 을 도입하여, 기저 비방향 그래프의 모든 방향화에서 지배자 수와 표준 색칠 수의 괴리도를 정량화한다.
• 경로와 사이클에 대해 $n \mod 4$ 를 기반으로 $\varsigma^\star(\cdot)$ 의 닫힌 형태 표현식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 방향성 그래프가 $\chi_d(D) = \chi(D)$ 를 만족하는가, 즉 $\varsigma^\star(D) = 0$ 인가?
• RQ2 언제 $\chi_d(D)$ 는 기저 그래프 $G_D$ 의 모든 방향화에서 불변인가?
• RQ3 언제 $\chi_d(D)$ 는 간선의 반전에 대해 불변인가, 즉 $\chi_d(D) = \chi_d(D^{-})$ 인가?
• RQ4 정리 3에서 $\chi_d(D) = 2$ 인 그래프를 특성화한 바를, 파artite 집합 내의 더 큰 지배 구조로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 어떤 종류의 방향성 그래프가 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\chi_d(D)}{\Delta(D)} = r$ 를 만족하는가, 여기서 $r \in \mathbb{R}$ 이다?

주요 결과

• 지배자 색칠 수는 부분그래프에 대해 단조적이지 않다: $\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$ 이며, 이는 부분그래프가 초과그래프보다 더 큰 지배자 색칠 수를 가질 수 있음을 보여준다.
• 지향된 경로에 대해 $\varsigma^\star(P_n)$ 은 $n=4k$ 이면 $3k-2$, $n=4k+1$ 또는 $n=4k+2$ 이면 $3k-1$, $n=4k+3$ 이면 $3k$ 이다. 지향된 사이클에 대해 $\varsigma^\star(C_n)$ 은 $n=4k$ 또는 $n=4k+1$ 이면 $3k-2$, $n=4k+2$ 이면 $3k-1$, $n=4k+3$ 이면 $3k$ 이다.
• 불변량 $\varsigma^\star(D)$ 는 항상 비음수이며, 관찰 1에 의해 $\chi_d(D) \geq \chi(G_D)$ 이기 때문이다.
• 완전 그래프 $K_n$ 과 완전 이분 그래프 $K_{m,n}$ 에 대해, 모든 간선이 한 쪽 집합에서 다른 쪽 집합으로 향하는 경우, $\varsigma^\star(K_n) = \varsigma^\star(K_{m,n}) = 0$ 이며, 이는 지배자 색칠 수가 색칠 수와 일치함을 의미한다.
• 지배자 색칠 수는 최대 차수에 의해 유계되지 않으며, 이는 표준 정점 색칠과의 근본적인 차이를 나타낸다.
• 논문은 지배자 색칠 수가 방향화에 의해 증가할 수 있음을 규명하고, 부분그래프 관계에서의 이러한 괴리도를 정량화하기 위해 $\delta(D,H) = \chi_d(H) - \chi_d(D)$ 를 도입한다.